Приведение произвольного преобразования к нормальной форме

2. Приведение произвольного преобразования к нормальной форме

 

Уже упоминалось в п. 1, что в случае, когда у преобразования А не хватает линейно независимых собственных векторов (т. е. когда их число меньше размерности пространства), базис приходится дополнять за счет так называемых присоединенных векторов (их точное определение будет дано чуть позже). В этом разделе дается способ построения базиса, в котором матрица преобразования А имеет жорданову нормальную форму. Этот базис мы непосредственно наберем из собственных и присоединенных векторов, и такой способ выбора является , в некотором смысле. Наиболее естественным.

2.1 Собственные и присоединенные векторы линейного преобразования

 

Пусть l₀ – некоторое собственное значение преобразования А.

Определение 1. Вектор х ¹ 0 называется собственным вектором преобразования А, отвечающим собственному значению l₀, если

Ах = l₀х, т. е. (А - l₀Е)х = 0. (1)

 

Рассмотрим совокупность всех векторов, удовлетворяющих условию (1) при фиксированном l₀. Ясно, что совокупность этих векторов является подпространством пространства R

Обозначим его . Легко видеть, что  инвариантно относительно преобразования А.

Заметим, что подпространство  состоит из всех собственных векторов преобразования А, отвечающих собственному значению l₀, к которым добавлен еще нулевой вектор.

Определение 2. Вектор х называется присоединенным вектором 1-го порядка преобразования А, отвечающим собственному значению l₀, если вектор

 

у = (А - l₀Е)х

 

является собственным вектором преобразования А.

Пусть l₀ – собственное значение преобразования А.

Подпространство, состоящее из всех векторов х, для которых выполнено условие

(А - l₀Е)²х = 0, (2)

 

т. е. ядро преобразования (А - l₀Е)² , обозначим .  является инвариантным подпространством пространства R. А получается это подпространство, если к подпространству  добавить присоединенные векторы 1-го порядка.

Аналогично вводим подпространство , состоящее из всех векторов х, для которых

(А - l₀Е)^kх = 0. (3)

 

Это подпространство инвариантно относительно преобразования А. Ясно, что подпространство  содержит предыдущее подпространство .Определение 3. Вектор х называется присоединенным вектором k-го порядка, если вектор

у = (А - l₀Е)х

 

есть присоединенный вектор порядка k-1.

Пример. Пусть R – пространство многочленов степени £ n-1 и преобразование А – дифференцирование:

АР(t) = P(t).

Легко видеть, что l = 0 есть собственное значение. Соответствующий ему собственный вектор P(t) = const. Найдем для этого преобразования подпространства . По определению  состоит из всех многочленов P(t), для которых А^kР(t) = 0, т. е.

Это будут все многочлены, степень которых не превышает k-1. Присоединенными векторами k-го порядка будут многочлены, степень которых в точности равна k-1.

 

2.2 Выделение подпространства, в котором преобразование А имеет только одно собственное значение

 

Пусть l₁ – некоторое собственное значение преобразования А. Пространство R можно разложить в прямую сумму двух инвариантных подпространств, в первом из которых преобразование А имеет лишь одно собственное значение l₁, а во втором у преобразования А уже нет собственного значения l₁.

Не ограничивая общности, можно считать, что l₁ = 0.

Действительно, пусть l₁ ¹ 0. Рассмотрим преобразование В = А - l₁Е; оно уже имеет собственное значение, равное нулю. Очевидно также, что инвариантные подпространства преобразований А и В совпадают.

Итак, будем считать, что преобразование А имеет собственное значение l= 0. Докажем это утверждение сначала для частного случая, когда в пространстве нет присоединенных векторов, отвечающих этому собственному значению, а есть только собственные векторы.

Нам нужно построить два инвариантных подпространства, прямая сумма которых равна R. В качестве первого из них, в котором l= 0 есть единственное собственное значение, можно взять совокупность N₀ всех собственных векторов, отвечающих собственному значению l= 0 или, другими словами, ядро преобразования А.

В качестве второго подпространства возьмем образ М пространства R при преобразовании А, т. е. совокупность векторов у = Ах, где х пробегает все пространство R. Легко видеть, что каждое из этих подпространств инвариантно.

Они дают разложение пространства в прямую сумму. Так как сумма размерностей ядра и образа для любого преобразования А равна n, то достаточно доказать, что пересечение этих подпространств равно нулю.

Предположим, что это не так, т. е. пусть существует вектор у ¹ 0 такой, что уÎМ и уÎN₀. Так как уÎМ, то он имеет вид

у = Ах, (4)

 

где х – некоторый вектор из R. Так как уÎN₀, то

Ау = 0, где у ¹ 0. (5)

 

Равенство (5) означает, что у есть собственный вектор преобразования А, отвечающий собственному значению l= 0, а равенство (4) при этом означает, что х есть присоединенный вектор первого порядка, отвечающий тому же собственному значению. Мы же предположили, что у преобразования А нет присоединенных векторов, отвечающих собственному значению l= 0.

Таким образом доказано, что подпространства М и N₀ не имеют общих векторов кроме нулевого.

Вспоминая, что сумма размерностей образа и ядра равна n, мы получаем отсюда, что пространство R разложимо в прямую сумму инвариантных подпространств М и N₀:

R = M + N₀.

 

Замечание. Из приведенного выше доказательства видно, что образ и ядро имеют пересечение, отличное от нуля в том и только случае, когда преобразование А имеет присоединенные векторы, отвечающие собственному значению l= 0.

Разобранный частный случай дает нам идею того, как проводить доказательство в общем случае, когда А имеет также и присоединенные векторы, отвечающие собственному значению l= 0. Подпространство N₀ при этом оказывается слишком узким, и его естественно расширить за счет добавления всех присоединенных векторов, отвечающие собственному значению l= 0. Второе же подпространство М оказывается при этом слишком большим.

Теорема. Пространство R можно разложить в прямую сумму инвариантных подпространств и . При этом подпространство  состоит только из собственных и присоединенных векторов, отвечающих собственному значению l= 0, а в подпространстве  преобразование А обратимо ( т. е. l= 0 не является собственным значением преобразования А в подпространстве ).

Если l₁ – некоторое собственное значение преобразования А, то пространство R можно разложить в прямую сумму инвариантных подпространств R₁ и , в первом из которых преобразование А имеет только собственное значение l₁, а во втором все собственные значения А отличны от l₁.

Применяя полученный результат к преобразованию А в пространстве  и к некоторому собственному значению l₂ этого преобразования, мы «отщепим» инвариантное подпространство, отвечающее собственному значению l₂. Продолжая этот процесс, пока не будут исчерпаны все собственные значения преобразования А, мы получим доказательство следующей теоремы:

Теорема. Пусть преобразование А пространства R имеет k различных собственных значений l₁, … , l_k.. Тогда R можно разложить в прямую сумму k инвариантных подпространств  , …, :

 

R = + … + . (6)

 

Каждое из подпространств состоит только из собственных и присоединенных векторов, отвечающих собственному значению l_i.

Осталось еще только одна не менее важная задача – выбрать в каждом из этих подпространств базис, в котором матрица преобразования имеет жорданову нормальную форму.