Лемма. Всякая разрешимая сверхрадикальная формация является наследственной формацией

3.8 Лемма. Всякая разрешимая сверхрадикальная формация является наследственной формацией.

Доказательство. Пусть  --- разрешимая сверхрадикальная формация. Как и в теореме 3.3.6 нетрудно показать, что любая разрешимая минимальная не -группа является группой Шмидта, либо группой простого порядка.

Покажем, что , где  --- максимальная наследственная подформация из . Допустим, что множество  непусто и выберем в нем группу  наименьшего порядка. В силу леммы 2.2.11, формация  является насыщенной. Поэтому . Очевидно, что группа  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу  и . Так как , то в  найдется минимальная не -группа . Из нормальной наследственности формации  следует, что . Ясно, что  является также минимальной не -группой.

По условию,  --- группа Шмидта. В этом случае , где  --- нормальная силовская -подгруппа, а  --- циклическая -подгруппа группы ,  и  --- различные простые числа.

Если , то

Получили противоречие с выбором . Остается принять, что . Отсюда и из  получаем, что , а значит,  --- -группа. Рассмотрим . Тогда группу  можно представить в виде

где  --- элементарная абелева -группа, а . Так как  не входит в , то по лемме 2.2.12 , где  --- максимальный внутренний локальный экран формации . Так как  и , то  является -группой. Отсюда следует, что . Из нормальной наследственности формации , по теореме 2.2.13, следует, что  является нормально наследственной формацией. Тогда, по лемме 3.3.7, . Получили противоречие. Таким образом, . Лемма доказана.

Напомним, что формация  называется формацией Шеметкова, если любая минимальная не -группа является либо группой Шмидта, либо группой простого порядка.

3.9 Теорема [16-A]. Пусть  --- наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1)  --- формация Шеметкова;

2) формация  содержит любую группу , где  и  --- -достижимые -подгруппы из  и ;

3)  --- сверхрадикальная формация и ;

4) формация  такая, что для любой группы  и для любых ее перестановочных -субнормальных подгрупп  и  подгруппа  -субнормальна в  и ;

5) формация  такая, что для любой группы  и для любых ее перестановочных -достижимых подгрупп  и  подгруппа  -достижима в  и ;

6) , где  --- некоторые множества простых чисел и .

Доказательство следует из теорем 2.2.14, 2.2.15 и теоремы 3.3.6.

3.10 Теорема [3-A, 5-A]. Пусть  --- наследственная насыщенная формация такая, что . Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) формация  содержит любую группу , где  и  --- -субнормальны в G и ;

2) , где  --- некоторые множества простых чисел.

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).

Пусть  --- формация, удовлетворяющая утверждению 1). Покажем, что она является сверхрадикальной формацией. Пусть  --- любая группа такая, что , где  и  --- -субнормальные подгруппы группы , принадлежащие . Пусть  и  произвольные -силовские подгруппы из  и  соответственно. Так как ,  и  --- наследственная формация, то  и  -субнормальны соответственно в  и . Так как  и  -субнормальны в , то по лемме 3.1.4,  и  -субнормальны в группе . Отсюда следует, что . Следовательно,  --- сверхрадикальная формация.

Теперь, согласно теореме 3.3.6, получаем, что .

Обратное утверждение следует из следствия 3.2.16. Теорема доказана.

Из леммы 3.3.5 следует, что в классе конечных разрешимых групп класс всех наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций совпадает с классом всех наследственных насыщенных формаций, замкнутых относительно произведения подгрупп  и , силовские подгруппы которых обобщенно субнормальны в .

Как следует из теоремы 3.3.10, аналогичное утверждение верно для всех наследственных насыщенных формаций, критические группы которых разрешимы. Однако для произвольной наследственной насыщенной формации данный вопрос остается открытым.

В главе 1 приведены некоторые свойства критических групп и обобщенно субнормальных подгрупп, необходимые для доказательства основных результатов глав2 и 3.

В главе 2 найдены серии наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения подгрупп  и , у которых любая силовская подгруппа -субнормальна в , теорема 2.3 [10-A,13-A].

В главе 3 получено описание наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, критические группы которых разрешимы, теорема 3.6 [20-A].

Основные научные результаты работы

В данной работе проведено изучение строения наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения -подгрупп, обладающих заданными свойствами.

1. Найдены серии произвольных наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения подгрупп  и , у которых любая силовская подгруппа -субнормальна в  [10-A, 13-A].