Кольца и полукольца частных

Содержание

 

Введение

Глава 1.Построение классического полукольца частных

Глава 2.Построение полного полукольца частных

Глава 3.Связь между полным и классическим полукольцами частных

Библиографический список

Введение

В настоящее время теория полуколец активно развивается и находит своё применение в теории автоматов, компьютерной алгебре и других разделах математики.

В работе построены полное и классическое полукольца частных, а так же рассмотрена их связь.

Прежде чем начать рассмотрение этих структур, определим коммутативное полукольцо частных следующим образом.

Непустое множество  с определёнными на нём бинарными операциями  и называется коммутативным полукольцом, если выполняется следующие аксиомы:

A1.  - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом , т.е.

1)  ;

2)  

3)   

А2.  - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1, т.е.

1)  ;

2)  

3)   

А3. умножение дистрибутивно относительно сложения:

 , .

А4.  .

Таким образом, можно сказать, что полукольцо отличается от кольца тем, что аддитивная операция в нём необратима.

Глава 1.

Для построения классического полукольца частных можно воспользоваться следующим методом:

Рассмотрим пары неотрицательных целых чисел .

Будем считать пары  и  эквивалентными, если , получим разбиение множества пар на классы эквивалентности.

Затем введём операции на классах, превращающие множество классов эквивалентных пар в полуполе, которое содержит полукольцо неотрицательных чисел.

Определение₁. Элемент  назовём мультипликативно сокращаемым, если для из равенства следует, что .

Обозначим через  множество всех мультипликативно сокращаемых элементов.

Утверждение₁.Мультипликативно сокращаемый элемент является неделителем нуля.

Пусть - делитель нуля, т.е.  для некоторого . Тогда , но не является мультипликативно сокращаемым. ▲

Пусть  - коммутативное полукольцо с возможностью сокращения на элементы из . Рассмотрим множество упорядоченных пар . Введём отношение ~ на :  для всех  и .

Предложение₁. Отношение ~ является отношением эквивалентности на .

Покажем, что ~ является отношением рефлективности, симметричности и транзитивности.

1.Рефлективность: в силу коммутативности полукольца  ;

2. Симметричность: ;

3.Транзитивность: Таким образом, отношение ~ является отношением эквивалентности на .

Полукольцо  разбивается на классы эквивалентности; в каждом классе находятся те элементы, которые находятся в отношении ~. Обозначим  класс эквивалентности пары . Введём операции на множестве  всех классов эквивалентности:

 

 т.к. для , ,  выполнено  отсюда т.к.  получаем  и поскольку  то  следовательно .

Покажем корректность введённых операций:

Пусть , , тогда

▲

Теорема₁.  - коммутативное полукольцо с 1. .

Доказательство.

Чтобы доказать, что множество  всех классов эквивалентности является коммутативным полукольцом с 1, нужно показать замкнутость на нём операций:

сложение: для  и

1.

2.

Так как правые части равны, то левые части тоже равны:

3. покажем, что для  .

Так как

Класс  является нейтральным по +:

 

Из равенства  тогда .

Для   составляет отдельный класс, играющий в  роль нуля.

умножение: для  и

1.

2.

Из равенства правых частей следует, что

3. покажем, что для  .

Пусть

Класс  является нейтральным по умножению (единицей полукольца), т.к. , поскольку из равенства  тогда .

4. умножение дистрибутивно относительно сложения:

Следовательно, правосторонний дистрибутивный закон выполняется:

Аналогично доказывается левосторонний закон дистрибутивности.

Таким образом, доказано, что  является коммутативным полукольцом с 1.

Полукольцо  называется классическим полукольцом частных полукольца .▲

Глава 2

Для построения полного полукольца частных можно воспользоваться следующим методом. Рассмотрим дробь  как частичный эндоморфизм аддитивной полугруппы  неотрицательных целых чисел. Его область определения – идеал , и он переводит  в , где . Аналогично, дробь  определена на идеале  и переводит  в . Эти две дроби эквивалентны, т.е. они согласованы на пересечении своих областей определений, равном идеалу , поскольку та и другая дробь переводят  в . Отношения определяются как классы эквивалентных дробей. Варьируя этот метод, можно выбрать в каждом классе эквивалентности одну «несократимую» дробь. Рассмотренный выше класс содержит несократимую дробь .

Данный метод можно применить к произвольному коммутативному полукольцу для построения «полного полукольца частных», где в качестве областей определения допускаются лишь идеалы определённого типа – плотные идеалы.

Определение₂.Идеал  коммутативного полукольца  называется плотным, если для  и  выполняется равенство  тогда и только тогда, когда .

Свойства плотных идеалов полукольца :

1⁰ - плотный идеал.

Доказательство:

Пусть для  выполнено . Положим , тогда . Таким образом  - плотный идеал по определению. ▲

2⁰ Если  - плотный идеал и , то идеал  плотный.

Доказательство:

Если - плотный идеал, то для  из равенства следует . Пусть для  выполнено . Так как по условию  возьмём . Тогда т.к. - плотный идеал получаем  отсюда . Таким образом  - плотный идеал по определению. ▲

3⁰ Если  и  - плотные идеалы, то  и  - так же плотные идеалы.

Доказательство:

Положим для  выполняется . Пусть , где , . Элемент  т.к. , тогда верно равенство  отсюда , т.к.  - плотный идеал имеем , , и - плотный, . Таким образом  - плотный идеал.

Пусть , тогда по определению идеала: . С другой стороны  значит . Тогда по 2⁰ - плотный идеал. ▲

4⁰ Если , то 0 не является плотным идеалом.

Доказательство.

Пусть . Для  и  выполнено  отсюда 0 не является плотным идеалом. ▲

Определение₃. Дробью назовём элемент , где  - некоторый плотный идеал. ( - сокращение от  - гомоморфизм, в данном случае: - гомоморфизм )

Таким образом,  - гомоморфизм аддитивных полугрупп, для которого  для  и .

Введём так же дроби , положив  и  для .

Сложение и умножение дробей определяются следующим образом:

пусть  и  тогда

,

, .

Покажем, что  является идеалом, где  т.е. сохраняются операции:

1. Если , то .

Пусть , , тогда .

2. Если  и , то . По условию .

Так как  - коммутативное полукольцо, то .

 . Таким образом,  - идеал.

Покажем, что идеал  является плотным: надо доказать, что плотный идеал - , т.е. .

По определению сложения и умножения , т.е.  содержит плотный идеал  значит, по свойству 2⁰ идеал  является плотным.

Дроби образуют аддитивную коммутативную полугруппу  с нулём и полугруппу  с единицей. То есть образуют полукольцо.

Доказательство:

1. По определению сложения и умножения:

, .

,

2. Коммутативность:

3. Ассоциативность:

4. Нейтральный элемент.

5. Дистрибутивность:

Правосторонняя дистрибутивность аналогично.

Таким образом, дроби образуют полукольцо.

Определение₄. Будем писать  если  и  согласованы на пересечении своих областей определений, т.е.  для .

Лемма 1.  тогда и только тогда, когда  и  согласованы на некотором плотном идеале.

Доказательство.

Если  то  и  согласованы на . По свойству 3⁰ идеал  является плотным. Следовательно,  и  согласованы на плотном идеале.

Обратно, пусть  и  согласованы на плотном идеале . Тогда если  и , то  отсюда в силу плотности идеала ,  для , но это равенство выполняется тогда, когда пересечением областей определений  и  является  отсюда следует, что .▲

Лемма 2. Отношение  является конгруэнцией на системе .

Доказательство.

Для того чтобы доказать, что  - конгруэнция, нужно показать:

1. отношение  - рефлексивно, симметрично, транзитивно.

Рефлективность:  и  согласованы на плотном идеале .

Симметричность: пусть , т.е.  и  согласованы на .

Транзитивность: пусть  и , т.е.  и  согласованы на плотном идеале

 и  согласованы на плотном идеале . Значит  и  согласованы на идеале , являющемся плотным , и  согласована с  на , тогда    согласована с  на плотном идеале  по Лемме 1

Таким образом,  - отношение эквивалентности.

2. отношение  сохраняет полукольцевые операции.

Ø   Пусть  и , т.е.  для  и  для .

Тогда  и  определены и согласованы на плотном идеале  отсюда по Лемме 1 .

Ø   Пусть  и , т.е.  для  и  для .

Тогда  и  определены и согласованы на плотном идеале  отсюда по Лемме 1 .▲

Теорема₂.Если  - коммутативное полукольцо то система  так же является коммутативным полукольцом. . (Будем называть  полным полукольцом частных полукольца )

Доказательство.

 - разбивает множество дробей  на  непересекающихся классов эквивалентности.

По Лемме 2 все тождества выполняющиеся в  справедливы и в .

Чтобы убедится, что  коммутативное полукольцо остаётся проверить справедливость законов дистрибутивности и коммутативности.