Дистрибутивность

1. Дистрибутивность.

Отображения:  и  согласованы на идеале  покажем, что образы отображений  и  совпадают на этом идеале:

пусть , где .

Тогда .

Областью определения  является . По определению идеала:  то  для , а идеал  (свойство 3⁰) то: . Тогда по определению сложения  отсюда следует . Покажем . По определению

Аналогично .

Тогда:

Таким образом,  где . По свойству 3⁰- плотный идеал значит  и  согласованы на плотном идеале .

2. Коммутативность.

Отображения  и  согласованы на плотном идеале  докажем что их образы совпадают на этом идеале: .

Доказано ранее, что пусть элементы  тогда

Отсюда следует, что  и  согласованы на плотном идеале .

Таким образом,  по Лемме 1.

Наконец  сопоставим дробь:  с областью определения  при которой  переходит в .

Предложение₂. Отображение  является гомоморфизмом т.е. сохраняет операции:

Доказательство:

1. Пусть ,  и  где  и .

Нужно показать, что . Покажем равенство образов  и .

Рассмотрим дробь , такую что

 для . (1)

 С другой стороны рассмотрим дроби  и  , такие что  для . (2)

Из (1) и (2) следует, что .

По свойству сложения смежных классов:

  для

2. Пусть ,  и  где  и .

Нужно показать, что . Покажем равенство образов  и .

Рассмотрим дробь , такую что

 для . (3)

 С другой стороны рассмотрим дроби  и  , такие что  для . (4)

Из (3) и (4) следует, что .

По свойству умножения смежных классов:

  для .

Таким образом  гомоморфизм.

Пусть , тогда

 т.е.  и  согласованы на некотором плотном идеале  значит  для , так как - плотный идеал, то  отсюда  - инъективно.

Поэтому, гомоморфизм  является мономорфизмом и  вкладывается в полное полукольцо частных.

Гомоморфизм  будем называть каноническим мономорфизмом  в .▲

Глава 3.

Определение₅.Любому мультипликативно сокращаемому элементу  сопоставим плотный идеал . Если , то элемент  назовём классической дробью, полагая  для .

Теорема₃. Множество дробей  образует подполукольцо полного полукольца частных, изоморфное классическому полукольцу частных  полукольца .

Доказательство:

Рассмотрим отображение , т.е. .

1. Докажем, что  - отображение: если  и , , где , , то .

Имеем

Возьмём элемент  из пересечения плотных идеалов , т.е.  и

Тогда , домножим  на  получим . Так как  и на  выполняется коммутативность по умножению, то ,  отсюда  для .

2. Докажем, что  является полукольцевым гомоморфизмом, т.е. сохраняются полукольцевые операции.

2.1

. Покажем, что дробь  согласована с  на плотном идеале .

Пусть , .

для .

Следовательно .

2.2

.

Идеал  содержит , покажем, что  и  согласованы на плотном идеале .

Пусть , . Тогда

 для .

Значит .

Таким образом  - полукольцевой гомоморфизм классического полукольца частных  в полное полукольцо частных .

3. Докажем, что  - инъективный гомоморфизм.

Пусть для . Предположим, что дроби  и  согласованы на некотором плотном идеале , т.е. для  выполнено . Но , . Тогда . Домножим обе части равенства на  получим:

т.к. - плотный идеал , что противоречит условию.

Значит,  является инъективным гомоморфизмом или мономорфизмом  в .

Так как , то , где  - элемент подполукольца полного полукольца частных , т.е.  и . Поскольку  - инъективный гомоморфизм, то по теореме о гомоморфизме существует изоморфизм  отсюда следует .

Мономорфизм  называется вложением классического полукольца частных  в полное полукольцо частных  полукольца .▲

Библиографический список

 

1.         Вечтомов, Е. М. Введение в полукольца [Текст] / Е. М. Вечтомов. – Киров.: ВГПУ, 2000.

2.         Ламбек, И. Кольца и модули [Текст] / И. Ламбек. – Москва.: Мир, 1971. – 288 с.

3.         Чермных, В. В. Полукольца [Текст] / В. В. Чермных. – Киров.: ВГПУ, 1997. – 131 с.