Дослідження виробничих функцій

4.2 Дослідження виробничих функцій

Підсистему виробництва продукції F (рис. 4.1) можна описати за допомогою виробничої функції

X=F(K, L).

 

Тут змінні характеризують такі фактори: K - обсяг виробничих фондів у вартісному або натуральному вигляді (вартість або кількість обладнання), L - обсяг трудових ресурсів (кількість робітників, кількість людино-днів) , X - обсяг продукції (валової) у вартісному або натуральному вигляді.

У даному підрозділі розглядаються виробнича функція Кобба-Дугласа (для першої галузі) та лінійна виробнича функція (для другої галузі). Припускається, що ці функції неперервні та диференційовані.

Виробнича функція Кобба-Дугласа ( CDPF ) належить до найбільш відомих, широко використовуваних функцій. Функція має вигляд

 

X₁=aK₁^αL₁^1-α,

 

(a,α,(1-α))>0, α<1,

 

де (a,α) - параметри моделі.

Параметр a залежить від одиниць вимірювання змінних.

Для функції Кобба-Дугласа виконуються такі вимоги

Перша похідна  характеризує граничну фондовіддачу. Із виразу видно, що для цієї функції гранична фондовіддача пропорційна середній фондовіддачі та менше її

 

Аналогічно визначається середня та гранична продуктивності праці. Для них також виконується відношення: гранична продуктивність праці  пропорційна середній продуктивності  та менше її. Знайдемо тепер еластичність продукції за основними фондами

,

та еластичність продукції за трудовими ресурсами

.

 

Еластичність показує, як зміниться величина Х₁, якщо величина К₁ або L₁ зміниться на 1%.

Знайдемо також граничні норми заміщення основних фондів трудовими ресурсами

,

та трудових ресурсів основними фондами

.

Ці норми показують, як при незмінній величині продукції можна змінити співвідношення між факторами.

За значеннями a та α заданого варіанту побудувати виробничу функцію Кобба-Дугласа для першої галузі та визначити основні характеристики:

Доказати однорідність першого степеня виробничої функції Кобба-Дугласа.

Для другої галузі необхідно розглянути лінійну виробничу функцію

C₂=b₁K₂+b₂L₂,

 

b₁=10i, b₂=і,

де і - номер заданого варіанту. Дослідити цю функцію, для цього обчислити характеристики

    , , , , .

 

 Доказати однорідність першого степеня лінійної виробничої функції.

4.3 Дослідження моделі "витрати-випуск" Леонтьєва

В моделі Леонтьєва діють підсистема виробництва продукції F та блок розподілу R_X, змінні X,Y,W (рис. 4.1).

Якщо позначити через X_i - валову продукцію і-ї галузі, Y_i - кінцеву продукцію і-ї галузі, W_i – проміжну продукцію і-ї галузі, то можна записати,

X_i-W_i=Yі, .

Тут n - кількість галузей. В цій моделі діє припущення, що в кожній галузі виробництво здійснюється одним технологічним способом або галузі випускають однорідну продукцію. Нехай проміжна продукція і-ї галузі дорівнює

,

де X_j - валова продукція j-ї галузі, , А_ij - кількість продукції і-ї галузі, яка витрачається на виробництво одиниці продукції j- ї галузі.

Модель Леонтьєва характеризується виробничою матрицею А

 

A=(A_ij), ; .

 

Ця матриця також називається матрицею коефіцієнтів прямих матеріальних витрат.

В матрично-векторній формі модель має вигляд

(I-A)=,

 

де I – одинична матриця розміром (n×n),

 - вектор валової продукції (вектор випуску),

 - вектор кінцевої продукції.

Вектор валової продукції можна знайти за формулою

=(I-A)^-1,

 

G=(I-A)^-1,

=G,

де G - обернена матриця Леонтьєва або мультиплікатор Леонтьєва . Матриця G дорівнює

G=(G_ij), , .

 

Ця матриця називається матрицею коефіцієнтів повних матеріальних витрат. Елемент G_ijпоказує потребу в валовій продукції і-ї галузі для виробництва одиниці кінцевої продукції j -ї галузі.

Задача планування випуску валової продукції є перетворенням вектора кінцевої продукції  за допомогою матриці (I-A)^-1 у вихідний вектор валової продукції

=(I-A)^-1.

 

Виникає питання відносно умов, за яких існує така матриця (I-A)^-1 , що для будь-якого невід'ємного вектора , ≥0, вектор (I-A)^-1 також невід'ємний. Матриця А в такому разі називається невід'ємною, якщо всі її елементи є невід'ємними. Для економічних систем матриця А завжди невід'ємна.

Умови продуктивності матриці А зв'язані з використанням одного з тверджень:

1)   максимальне власне число λ(A) матриці А менше 1;

2)   матриця (I-A) має невід'ємну обернену матрицю;

3)   матричний ряд

I+A+A²+...+A^r+… = ,

A⁰=I,

 

(так званий ряд Неймана матриці А) збігається, при цьому його сума дорівнює оберненій матриці (I-A)^-1

=(I-A)^-1,

 

4)   послідовні головні мінори матриці (I-A) додатні.

За даними А та  побудувати модель Леонтьєва для двох галузей та знайти вектор валової продукції .

Для цього виконати такі дії:

1)   знайти матрицю (I-A), де І – одинична матриця

I=,

 

2)   обчислити визначник матриці |I-A|.

Для обчислення визначника можна скористатись правилом трикутника. Наприклад, для матриці В

В=,

визначник дорівнює:

,

3)   знайти мінори для елементів матриці (I-A). Нагадаємо визначення мінору. Мінором M_ik називається визначник (n-1) порядку, який одержуємо після викреслення і - рядка та k - стовпця, ; . Наприклад, мінор М₁₁ дорівнює.

;

4)   знайти алгебраїчні доповнення для елементів матриці (I-A).

Позначимо алгебраїчне доповнення ,; . Алгебраїчним доповненням  називається мінор, який береться зі знаком (-1)^i+k

 

=(-1)^i+kM_ik. Побудувати матрицю , приєднану до матриці (І-А). Матриця

 утворюється алгебраїчними доповненнями;

5)   транспонувати матрицю ,

6)   знайти обернену матрицю (І-А)^-1 за формулою

,

 

7)   знайти вектор валової продукції

=(І-А)^-1,

8)   знайти міжгалузеві потоки продукції за формулою

X_ij=A_ijX_j,

 

(i,j)=1,2.

Результати звести до таблиці 4.1

Таблиця 4.1-

Результати розрахунків за моделлю Леонтьєва

Виробляючі галузі	Споживаючі галузі		Кількість кінцевої продукції	Кількість валової продукції
	1	2
1
2