Кривые и поверхности второго порядка

Кафедра высшей математики

Курсовая работа

По линейной алгебре и аналитической геометрии

«Кривые и поверхности второго порядка»

Дубна 2002

Оглавление

 

Введение

Часть I. Исследование кривой второго порядка

1. Определение типа кривой с помощью инвариантов

2. Приведение к каноническому виду

3. Построение графиков

4. Вывод

Часть II. Исследование поверхности второго порядка

1. Определение типа поверхности.

2. Приведение к каноническому виду

3. Исследование формы поверхности методом сечений

4. Графики уравнения поверхности.

5. Вывод

Введение

Цель:

Целью данной курсовой работы является исследование кривой и поверхности второго порядка. Закрепление теоретических знаний и практических навыков по изучению и анализу свойств кривых и поверхностей второго порядка.

Постановка задачи:

I)          Для данного уравнения кривой второго порядка:

1)         Определить тип кривой с помощью инвариантов.

2)         При a=0 записать каноническое уравнение прямой и определить расположение центра

3)         Привести уравнение к каноническому виду, применяя параллельный перенос и поворот координатных осей.

II)        Для данного уравнения плоскости второго порядка:

1)         Исследовать форму поверхности методом сечений плоскостями, построить линии, полученные в сечениях.

2)         Построить поверхность в канонической системе координат.

Часть I. Исследование кривой второго порядка   1. Определение типа кривой с помощью инвариантов

Для данного уравнения кривой второго порядка:

(5 - a)x² + 4xy + 3y² + 8x – 6y +5 = 0 (3.1)

определить зависимость типа кривой от параметра a с помощью инвариантов.

Для данного уравнения кривой второго порядка:

a₁₁ = 5 - a, a₁₂ = 2, a₁₃ = 4, a₂₂ = 2, a₂₃ = -3, a₃₃ = 5

Вычислим инварианты:

I₁ = a₁₁ + a₂₂ = (5 - a) +2 = 7 - a

I₂ == = (5 - a)2 – 4 = 6 -2a

I₂ === (5 - a)10-24-24-32-9(5 - a)-20 = -a-95

Согласно классификации кривых второго порядка:

I.          Если I₂ = 0, то данное уравнение (3.1) определяет кривую параболического типа:

I₂ = 6 - 2a = 0, следовательно, при a = 3 уравнение определяет кривую параболического типа.

При a = 3 I₃ = - a - 95 = -3 - 95 = 98 ¹ 0. Значит, при a = 3 уравнение (3.1) задаёт параболу.

II.                           Если I₂ ¹ 0, то задаваемая кривая является центральной. Следовательно, при a ¹ 3 данное уравнение задаёт центральную кривую.

1.         Если I₂ > 0, то уравнение задаёт кривую эллиптического типа:

Значит, при a < 3 уравнение (3.1) задаёт кривую эллиптического типа.

a.              Если I₁ I₃ < 0, то уравнение определяет эллипс:

I₁ I₃ = - (7 - a)(a+95) = a²+88a-665 < 0, при решении получаем a Î (-95 , 7). Следовательно, при a Î (-95 , 3) уравнение (3.1) задаёт эллипс.

b.              Если I₁ I₃ > 0, то уравнение определяет эллипс:

I₁ I₃ = a²+88a-665 > 0, при решении получаем a Î (-¥, -95). Следовательно, при a Î (-¥ , -95) уравнение (3.1) задаёт мнимый эллипс.

c.              Если I₃ = 0, то уравнение определяет две мнимые пересекающиеся прямые:

I₃ = -a - 95 = 0, при решении получаем a - 95. Следовательно, при a = - 95 уравнение (3.1) задаёт две мнимые пересекающиеся прямые.

2.         Если I₂ < 0, то уравнение задаёт кривую гиперболического типа:

Значит, при a > 3 уравнение (3.1) задаёт кривую гиперболического типа.

a.              Если I₃ ¹ 0, то уравнение определяет гиперболу:

I₃ = -a - 95 ¹ 0, получаем a ¹ -95. Следовательно, при a Î (3 , +¥) уравнение (3.1) задаёт гиперболу.

Согласно полученным данным, построим таблицу:

a Î (-¥ , -95)	a = -95	a Î (-95 , 3)	a = 3	a Î (3 , +¥)
Мнимый эллипс	Две мнимые пересекающиеся прямые	Эллипс	Парабола	Гипербола

2. Приведение к каноническому виду

При a = 0 уравнение (3.1) принимает вид:

5x² + 4xy + 2y² + 8x - 6y + 5 = 0 (3.2)

Приведем уравнение кривой (3.2) к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей. Мы установили, что данная кривая — центральная, поэтому используем методику приведения к каноническому виду для уравнения центральной кривой.

a)   Характеристическое уравнения для данной кривой будет иметь вид:

A(x, y) = 5x² + 4xy + 2y²

Откуда следует, корни характеристического уравнения есть: l₁ = 1, l₂ = 6.

Расположение эллипса относительно начальной системы координат будет известно, если мы будем знать координаты центра и угловой коэффициент вещественной оси эллипса.

Уравнения для определения координат центра имеют вид:

Откуда мы находим x₀ = -  и y₀ = . Следовательно, точка O¢ (-,) есть центр данной кривой.

Угловой коэффициент оси O¢X можем определить по формуле:

б) Совершим параллельный перенос начала координат в точку O¢ (x₀, y₀). При этом координаты x, y произвольной точки плоскости в системе координат xOy и координаты x', y' в новой системе координат x'O'y' связаны соотношениями:

Подставив данные выражения в уравнение (3.1), получим:

5(x₀ + x¢)² + 4(x₀ + x¢)(y₀ + y¢) + 2(y₀ + y¢)² + 8(x₀ + x¢) - 6(y₀ + y¢) + 5=0

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим:

5x¢²+4x¢y¢+2y¢²+(10x₀+4x₀ + 8)x¢ + (4x₀ + 4y₀ - 6)y¢ + (5x₀² + 4x₀y₀ + 2y₀² + 8x₀ - 6y₀ + 5) = 0 (3.3)

В данном уравнении коэффициенты при x¢ и y¢ приравняем к нулю и получим систему уравнений:

Решив эту систему уравнений, мы получим, найденные уже раннее, координаты центра O¢ , x₀ = -  и y₀ = . Подставив данные значения в уравнение (3.3), коэффициенты при x¢ и y¢ станут равными нулю, мы получим уравнение в системе координат x'O'y' :

5x¢² + 4x¢y¢ + 2y¢² + () = 0

5x¢² + 4x¢y¢ + 2y¢² -  = 0 (3.4)

в) Так как a₁₂ = 2 ¹ 0, то для дальнейшего упрощения необходимо произвести поворота осей координат на угол a. При повороте осей координат на угол a координаты x', y'  произвольной точки М плоскости в системе координат x'O'y' и координаты X, Y в новой системе координат XO'Y связаны соотношениями:

Подставим данные выражения в уравнение (3.4), получим:

5(Xcosa - Ysina)² + 4(Xcosa - Ysina)(Xsina + Ycosa) + 2(Xsina + Ycosa)² -  = 0

(5cos²a + 4sinacosa + 2sin²a)X² + (-6sinacosa + 4cos²a - 4sin²a)XY +

(5sin²a - 4sinacosa + 2cos²a)Y² -  = 0  (3.5)

В полученном выражении найдём такой угол a, чтобы коэффициент при XY стал равен нулю, для этого необходимо:

-6sinacosa + 4cos²a - 4sin²a = 0

2tg²a + 3tga - 2=0

Откуда, при решении, находим два значения tga = -2 и tga = .

В первом задании мы нашли, что угловой коэффициент вещественной оси O'X эллипса равен k = -2. Так как угловой коэффициент равен тангенсу, то из двух найдённых значений выберем tga = -2. Следовательно:

cosa =  , sina =

Подставив данные значения для sina и cosa в уравнение (3.5), коэффициент при XY станет равным нулю, получим:

()X² + ()Y² -  = 0

X² + 6Y² -  = 0

(3.6)

- это каноническое уравнение данной кривой (3.1) при a = 0.

  3. Построение графиков

 Подтвердим результаты проведённого исследования данного уравнения кривой (3.1) второго порядка, построив соответствующие графики кривых при разных a.

При a = 3 уравнение (3.1) принимает вид:

2x² + 4xy + 3y² + 8x – 6y +5 = 0

Графиком данного уравнения является парабола:

При a = 6 уравнение (3.1) принимает вид:

x² + 4xy + 3y² + 8y² – 6y +5 = 0

Графиком данного уравнения является гипербола:

При a = 0 уравнение (3.1) принимает вид

5x² + 4xy + 3y² + 8y² – 6y +5 = 0

Графиком данного уравнения является эллипс. Изобразим в данной системе также график канонического уравнения эллипса (3.6):