Вывод

4. Вывод

Исследовав данное общее уравнение кривой второго порядка, мы установили, что при значении параметра a = 0 уравнение задаёт эллипс. Привели уравнение к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота. При параллельном переносе коэффициенты при первых степенях стали равны нулю, при повороте координатных осей коэффициенты при смешанном произведении стали равны нулю. Построили графики для всех фигур, которое может задавать данное уравнение, построили график эллипса в общей и канонической системе координат.

Часть II. Исследование поверхности второго порядка   1. Определение типа поверхности

Для данного уравнения поверхности второго порядка:

4x² - z² + 12xz + 6y - 8z + 5 = 0 (4.1)

Определить тип поверхности с помощью инвариантов.

 4 + 0 -1 = 3

= - 4 – 36 = - 40

Определим характер расположения центра: Данная поверхность не имеет центра, так как выполняется условие I₃ = 0, I₄ ¹ 0. При этом инвариант I₄ = 360 > 0, следовательно, графиком уравнения (4.1) является гиперболический параболоид.

2. Приведение к каноническому виду

Совершим параллельный перенос начала координат в некоторую точку O'(x₀ ,y₀, z₀). При этом координаты x, y, z произвольной точки пространства в системе координат Oxyz и координаты x', y', z' этой же точки в новой системе координат в системе координат O'x'y'z' связаны соотношением:

(4.2)

Подставляя уравнения (4.2) в уравнение (4.1) получим уравнение поверхности S в новой системе координат O'x'y'z' :

4(x'+x₀)² - (z'+z₀)² + 12(x'+x₀)(z'+z₀) + 6y' - 8(z'+z₀) + 5 = 0

4x'² + 8x'x₀ + 4x₀² - z'² - 2z'z₀ - z₀² + 12x'z' + 12z'z₀ + 12x₀z' + 12x₀z₀ + 6y' - 8z' - 8z₀ + 5 = 0

4x'² - z'² + 12x'z' + 6y' + (12x₀ - 2z₀ - 8)z' + (8x₀ + 12z₀)x' + (4x₀² - z₀² + 12x₀z₀ - 8z₀ +5)=0 (4.3)

Для того, чтобы новое начало координат O'(x₀, y₀, z₀) было центром поверхности (4.1) необходимо и достаточно, чтобы в уравнении (4.3) отсутствовал член с x' и z' в первой степени:

Решая данную систему, находим x₀ =  и y₀ = . Подставим полученные значения в уравнение (4.2):

4x'² - z'² + 12x'z' + 6y' + ()z' + ()x' + () = 0

4x'² - z'² + 12x'z' + 6y' + =0 (4.4)

Поскольку коэффициент при x'z' не равен нулю, то продолжим дальнейшее преобразование, совершив поворот осей координат на угол a. Координаты произвольной точки поверхности будут связаны следующими соотношениями:

(4.5)

Подставив выражения из (4.5) в уравнение (4.4), получим следующее:

4(Xcosa - Zsina)² – (Xsina + Zcosa)² + 12(Xcosa - Zsina)(Xsina + Zcosa) + 6Y +  = 0

4X²cos²a - 8XZcosasina + 4Z2sin²a - X2sin²a - 2XZsin²a - 2XZcosasina -Z²cos²a + 12X²cosasina + 12XZcos²a - 12XZsin²a - 12Z²sinacosa + 6Y +  = 0

(4cos²a-sin²a+12cosasina)X²+(4sin²a-cos²a-12sinacosa)+(-8cosasina-2cosasina+12cos²a-12sin²a)XZ+6Y+=0 (4.6)

Найдём угол a такой, что коэффициент при XZ будет равен нулю:

-8cosasina-2cosasina+12cos²a-12sin²a=0

6tg²a+5tga-6=0

D = 25+144 = 169 = 13²

Откуда следует, что tga =  или tga = . Возьмём tga = . Тогда найдём cosa==, sina=. Подставим найдённые значения в уравнение (4.6):

()X²+()Z²+()XZ+6Y+=0

(4.7)

- это каноническое уравнение поверхности (4.1). Оно имеет сдвиг по оси O'Y на (-).

3. Исследование формы поверхности методом сечений

Проведём исследование графика уравнения (4.7) методом сечения плоскостями.

Рассмотрим линии , полученные в сечениях гиперболического параболоида плоскостями Y=h. Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно, уравнения проекций линий  на плоскость ZO'X имеют вид:

:

Рассмотрим три случая:

Если h + >0, h >, запишем полученное уравнение в виде:

(4.8)

 Уравнение (4.8) задаёт гиперболы с центрами в точках (0, h ,0).

Полуоси гипербол:

a =  - действительная полуось, b = - мнимая полуось, увеличиваются с увеличением h. При различных значениях h получим семейство соответствующих гипербол:

h = 1 a=; b=;

h=2 a=; b=;

h=3 a=; b=;

Изобразим данные гиперболы на рисунке:

Если h + =0, h =, запишем полученное уравнение в виде:

или

Данное уравнение задаёт две пересекающиеся прямые. Изобразим их на рисунке:

Если h + < 0, h<, запишем полученное уравнение в виде:

Данное уравнение задаёт сопряжённые гиперболы с центрами в точке (0, h, 0).

Полуоси гипербол:

a=- действительная полуось, b=- мнимая полуось, увеличиваются с увеличением | h |.

При различных значениях h получаем семейство соответствующих гипербол:

h=-1 a=; b=;

h=-2 a=; b=;

h=-3 a=; b=;

Изобразим данные гиперболы на рисунке:

Рассмотрим линии , полученные в сечениях гиперболического параболоида плоскостями Z=h. Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно, уравнения проекций линий  на плоскость XO'Y имеют вид:

: (4.9)

Уравнение (4.9) задаёт параболы, с вершинами в точках V(0, , h) и параметром

p=. При различных h получим семейство соответствующих парабол:

h = ±1 :

h = ±2 :

h = ±3 :

Изобразим данные параболы на рисунке:

Рассмотрим линии , полученные в сечениях гиперболического параболоида плоскостями X=h. Эти линии определяются системой уравнений:

Следовательно, уравнения проекций линий  на плоскость YO'Z имеют вид:

 (4.10)

Уравнение (4.10) задаёт параболы, с вершинами в V(h, ,0) и параметром p=. При различных h получаем семейство соответствующих парабол.

h = ±1 :

h = ±2 :

h = ±3 :

Изобразим данные параболы на рисунке:

 

4. Графики уравнения поверхности

Изобразим поверхность второго порядка в общеалгебраической и канонической системе координат.

График в общеалгебраической системе координат:

График в канонической системе координат:

  5. Вывод

Исследовав каноническое уравнение (4.7) гиперболического параболоида, отметим следующее:

1.         Оси O'Z и O'X являются осями симметрии поверхности. Центра симметрии у поверхности нет.

2.         Рассекая поверхность горизонтальными плоскостями Y = h, в сечениях получаем:

h >  - гиперболы с действительными осями, параллельными оси O'Z

h =  - две пересекающиеся прямые

h <  - сопряжённые гиперболы с действительными осями, параллельными оси O'Y

3.         Рассекая поверхность плоскостями Z = h и X = h, в сечениях получаем параболы, с ветвями, направленными вниз (Z = h) или вверх (X = h).

4.         Поверхность гиперболического параболоида бесконечна в направлении всех трёх координатных осей.

Список литературы

1.   Копылова Т. В. Аналитическая геометрия. — Дубна: Международный университет природы, общества и человека «Дубна», 1997.

2.   Ильин В. А., Позняк Г. Д. Аналитическая геометрия. — М.: Наука, 1974.