Математика

Канашский филиал

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

По математике

Вариант 3

Студента 1 курса экономического факультета

Шифр: 04653033 Учебная группа: 53-06

Работа выслана в Чувашский госуниверситет

 «____» ____________2006 г.

Передана на кафедру «Экономики и управления»

Оценка___________ «___» _____________2006г.

Преподаватель: Бычков Владимир Порфирьевич

Возвращена в деканат______________________

 

 

Математика

Вариант 3

Даны вершины А(х₁;у₁) ,В(х₂;у₂), С(х₃;у₃) треугольника. Требуется найти: 1)длину стороны ВС; 2)площадь треугольника; 3)уравнение стороны ВС; 4)уравнение высоты проведенной из вершины А; 5)длину высоты проведенной из вершины А; 6)уравнение биссектрисы внутреннего угла ;

7)угол  в радианах с точностью до 0,01; 8)систему неравенств определяющих множество точек треугольника. Сделать чертеж.

вариант 3: А(5;-1), В(1;-4), С(-4;8).

Решение:

1)Длина стороны ВС:

;

2)Длина стороны АВ:

 ;

Скалярное произведение векторов и

Угол  :

cos = ; =arcos 0,2462=75,75;

3) Уравнение стороны ВС:

; ; ; ; ;

4) Уравнение высоты, проведенной из вершины А:

; ;

Условие перпендикулярности двух прямых:

; ;

; ; ; ;

5) Длина высоты, проведенной из вершины А:

6)

Уравнение прямой АС:

Уравнение биссектрисы внутреннего угла :

 

7) Угол  в радианах с точностью до 0,01:

8) Уравнение стороны ВС:

Уравнение стороны АС:

Уравнение стороны АВ:

Система неравенств, определяющих множество внутренних точек треугольника.

 

Задание 13.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(4;1) на расстоянии 4 единиц от точки В(-4;0).

 

 

Решение:

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку А:

По условию задачи

Искомые прямые:

Задание 23.

 

Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки F(8;0) вдвое больше, чем от прямой Х-2=0. Сделать чертеж.

 

Решение:

 

По условию задачи:

 -  уравнение гиперболы с центром в точке  и полуосями

Задание 33.

Составить уравнение параболы и ее директрисы, если известно что парабола проходит через точки пересечения прямой  с окружностью и ось является осью симметрии параболы. Сделать чертеж.

Решение.

Рассмотрим уравнение окружности:

Найдем точки пересечения окружности и прямой.

Координаты точек пересечения окружности и прямой т.к. парабола симметрична относительно ОХ, то уравнение имеет вид  учитывая что  найдем параметр p

Таким образом, уравнение параболы

Уравнение директрисы параболы:

Задание 43.

Дано уравнение параболы f(x;y)=0. Сделать параллельный перенос осей координат так, чтобы в новой системе координат XO₁Y уравнение параболы приняло вид X²=aY или Y²=aX. Построить обе системы координат и параболу.

Решение:

Задание 53

Даны вершины А₁(Х₁;Y₁;Z₁),. А₂(Х₂;Y₂;Z₂), А₃(Х₃;Y₃;Z₃), А₄(Х₄;Y₄;Z₄)

пирамиды. Требуется найти:  1) длину ребра А₁А₂; 2)Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄; 3)угол между ребром А₁А₂ и гранью А₁А₂ А₃; 4) площадь грани А₁А₂ А₃; 5) объем пирамиды; 6)  уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂ А₃; 7) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂ А₃, и вершину А₁ пирамиды.

A₁(3;5;4), А₂(5;8;3), А₃(1;9;9), A₄(6;4;8);

Решение:

1)

Длина ребра А₁А₂;

2)

Длина ребра А₁А₄;

Скалярное произведение векторов А₁А₂ и А₁А₄:

Угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄:

3) Уравнение грани А₁А₂ А₃:

Угол между ребром А₁А₂ и гранью А₁А₂ А₃:

4)Площадь грани А₁А₂А₃:

кв. ед.

5) Объем пирамиды:

куб. ед.

6) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂ А₃:

7) Уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂ А₃, и вершину А₁ пирамиды.

Задание 63.

Определить вид поверхности, заданной уравнением f(x;y;z)=0, и показать её расположение относительно системы координат.

Решение:

Эллиптический параболоид с вершиной О(z;o;o), направленный вдоль оси ОХ, и имеющий полуоси на оси по оси

Задание 73.

Применяя метод исключения неизвестных, решить систему уравнений.

Решение:

2	-9	-4	-3	3		-83	= > = >	0	-47	-28	-13	7		-459
2	-7	-2	-1	-4		-57		0	-45	-26	-11	0		-433
7	-6	2	-2	0		-35		0	-139	-82	-37	-14		-1351
1	19	12	5	-2		188		1	19	12	5	-2		188
0	-47/7	-4	-13/7	1		-459/7		0	68/77	30/77	0	1		980/77
0	-45	-26	-11	0		-433		0	45/11	26/11	1	0		433/11
0	-233	-138	-63	0		-2269		0	272/11	120/11	0	0		2320/11
1	39/7	4	3/7	0		398/7		1	94/77	-190/77	0	0		481/77
0	0	0	0	1		-2900/77
0	-19/15	0	1	0		-2583/11
0	13,6	1	0	0		116
1	1574/231	0	0	0		22521/77

Общее решение системы:

 

Задание 83.

 

Даны векторы и . Показать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора в этом базисе.

 

Решение:

Составим определитель из координат векторов и вычислим его:

 

Так как ,то векторы составляют базис. Найдем координаты вектора  в этом базисе:

2	-10	0	-4		-42	= >	0	-20	4	-4		-88	= >	0	48	-12			252
4	-9	10	3		-43		0	-29	18	3		-135		0	-80	30			-350
2	-7	0	-1		-39		0	-17	4	-1		-85		0	17	-4			85
1	5	-2	0		23		1	5	-2	0		23		1	5	-2			23

0	-4	1	0		-21	= >	0	0	1	0		3
0	40	0	0		240		0	1	0	0		6
0	1	0	1		1		0	0	0	1		-5
1	-3	0	0		-19		1	0	0	0		-1

 Итак

Проверка:

2(-1)-10*6 -4(-5)=-42; -42=-42;

4(-1)-9*6+10*3+3(-5)=-43; -43=-43;

2(-1)-7*6- -(-5)=-39; -39=-39;

-1+5*6-2*3 =23; 23=23.

 или

Задание 93.

Дана матрица А . Требуется найти: 1) матрицу, обратную матрице А;

2) собственные значения и собственные векторы матрицы А.

Решение:

-1	-2	12		1	0	0		1	2	-12		-1	0	0
0	4	3		0	1	0		0	4	3		0	1	0
0	5	6		0	0	1		0	5	6		0	0	1
1	0	-13,5		-1	-0,5	0		1	0	0		-1	-8	6
0	1	0,75		0	0,25	0		0	1	0		0	6/9	-3/9
0	0	2,29		0	-1,25	1		0	0	1		0	-5/9	4/9

Обратная матрица:

Корни характеристического уравнения:

- собственные значения матрицы А .

При

Собственный вектор:

Задание 103.

Построить график функции y=f(x) деформацией и сдвигом графика функции y=sin x.

Решение:

Задание 113.

Найти указанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя).

Решение:

Подстановка:

Задание 123.

Дана функция y=f(x) и три значения аргумента x₁,x₂,x₃. Установить, является ли эта данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений Х. Построить (приближенно) график функции в окрестностях каждой из данных точек.

Решение:

Так как ,то функция в точке Х₁=-1 непрерывна.

Так как ,то функция в точке х=3 разрывная.

Так как ,то функция в точке х=7 непрерывна.

Задание 133.

Функция y=f(x) задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Построить график.

 

Решение:

Так как , то функция в точке х=-1 разрывна.

Так как , то функция в точке  непрерывна.

Задание 143.

Найти производные

a) б) в)

г) д)

Решение.

а)

б)

в)

 

г)

д)

Задание 153.

Найти  для функции, заданной параметрическим.

Решение.

Задание 163.

На линии  найти точку, в которой касательная к этой линии параллельна прямой

Решение.

Угловой коэффициент прямой:  

  или

 

Угловой коэффициент касательной к линии:

Так как касательная к линии и прямая параллельны, то  

тогда:

Таким образом получаются две точки:

 

Задание 173.

Какова должна быть высота равнобедренного треугольника, вписанного в окружность диаметра d, чтобы площадь треугольника была наибольшей?

Решение.

Задание 183.

Исследовать методами дифференциального исчисления и построить график.

Решение.

 1. область определения функции:

так как  то функция нечетная.

 2. Точки пересечения с осями координат:

При при

 3. Область возрастания (убывания) функции, точки экстремумов:

При  функция возрастает.

При  функция убывает.

При  функция убывает.

При функция возрастает

Точка точка максимума.

Точка точка минимума.