Возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений

2. Возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений

В этой главе выявим возможности применения метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений в стандартных и нестандартных ситуациях. Сначала остановимся на случаях, где замена очевидна.

Пример 1. Решить иррациональное уравнение

Замена:

Обратная замена: /

Ответ:

Пример2. Рассмотрим уравнение, содержащее знак модуля:

Замена:

Обратная замена: корней нет,

Ответ:

Пример 3. Решить уравнение: 7

Замена:

Обратная замена:

, , корней нет.

Ответ:

Пример 4. Решим биквадратное уравнение:  при помощи замены:

 или посторонний корень.

Обратная замена:

Ответ:

Обращаем внимание на то, что биквадратное уравнение имеет четыре корня, если соответствующее ему квадратное имеет два положительных корня.

Пример 5. Рассмотрим другое простейшее уравнение, сводящееся к квадратному:

Попытка перемножить скобки в левой части исходного уравнения приведёт нас к уравнению четвёртой степени, решение которого приведёт к трудоёмким вычислениям.

Обозначим через  выражение .В переменных  исходное уравнение имеет вид:

Раскрыв скобки, получим:

Обратная замена: = или = -

= 

 корней нет

Ответ:.

Мы продемонстрировали примеры, где замена очевидна. Однако во многих случаях удобная замена далеко не очевидна, и поэтому необходимо выполнить некоторые преобразования. Тем самым мы выявим возможность применения метода замены неизвестного в нестандартных ситуациях.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Очевидно, что х=0 – не корень уравнения. Разделив числитель и знаменатель каждой дроби на х0, запишем

и, сделав замену  получим

Вернёмся к «старой» переменной:

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

 

Решение. Выделим полный квадрат суммы:

Сгруппируем первый, второй и четвёртый члены:

, или

Введём замену получим

Вернёмся к «старой» переменной:

Ответ:

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Положим,

  (1)

Тогда исходное уравнение запишется так:  Поскольку мы ввели две новые функции, надо найти ещё одно уравнение, связывающее переменные  и . Для этого возведём оба равенства (1) в куб и заметим, что  Итак, надо решить систему:

Ответ:

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Введём замены:

  (2)

Тогда исходное уравнение примет вид

Попробуем составить ещё одно уравнение, зависящее от переменных  и . Для этого найдём сумму:

Итак, надо решить систему

Ответ:

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Заметим, что суммы чисел, стоящих во второй и четвёртой, в первой и третьей скобках, равны, т.е. -7+2=-1–4. Перемножив эти пары скобок, приходим к уравнению

Введём замену:  получим  Решив квадратное уравнение , находим, что  или .

Возвращаемся к исходной переменной и решаем совокупность уравнений:

Ответ: .

Пример 6. Решить уравнение

Решение. Заметим, что произведение чисел, стоящих в первой и третьей, во второй и четвёртой скобках, равны, т.е.  Перемножим указанные пары скобок и запишем уравнение

Поскольку  – не корень, разделим обе части уравнения на  Получим:

Введя замену:  запишем исходное уравнение в следующем виде:

 т.е.

Отсюда  . Вернёмся к исходной переменной:

Первое уравнение совокупности имеет корни . Второе уравнение не имеет корней.

Ответ:

Пример 7. Решить уравнение

Решение. Вид уравнения совсем не подсказывает, что его можно свести к однородному. Преобразуем первый множитель, выделив из него выражение, равное второму множителю, т.е.

Подставляя последнее выражение в исходное уравнение, запишем, что

и далее:

Введя замену:  и  приведём последнее уравнение к виду . Это однородное уравнение второй степени относительно  и . В нём . В самом деле, если , то уравнение приводится к виду , или  Но система  решений не имеет.

Разделив обе части уравнения  на  , запишем. Что

Отсюда  

Ответ:

Пример 8. Решить уравнение

Решение. Поскольку функция  существует при любых значениях , найдём область определения функции

значит, . Ясно, что можно ввести замену  или  Пусть . Нас интересуют все значения этой функции. Выберем для удобства любой отрезок, на котором функция синус принимает все свои значения, например отрезок

Подставив замену в уравнение, получим:

Вернёмся к «старой» переменной:

 

Ответ:   

Пример 9. Решить уравнение

 

 

Решение. Выделим наиболее часто повторяющееся выражение  и упростим левую часть исходного уравнения:

 (1)

Введём замену  тогда уравнение (3) примет вид:

, или ,

При дальнейших упрощениях получим

Применим основное свойство дроби к левой части уравнения, разделив на :

Введём вторую замену  и решим уравнение:

Возвращаясь к исходной переменной, придём к совокупности:

Второе уравнение совокупности не имеет решений, а первое даёт два решения, которые и выносятся в ответ.

Ответ: