Типизация приёмов введения новых неизвестных при решении алгебраических уравнений

3. Типизация приёмов введения новых неизвестных при решении алгебраических уравнений

В третьей части курсовой работы осуществим типизацию приёмов введения новых неизвестных при решении алгебраических уравнений.

Введение новых переменных может быть как явным, так и неявным. Классифицируем наши уравнения по способам неявной реализации метода замены переменной:

Использование основного свойства дроби.

Использование основного свойства дроби применяется в уравнениях следующего вида:

где постоянные, .

В таких уравнениях сначала проверяют, является ли  корнем уравнения, и производят замену .

Выделение квадрата.

Выделение квадрата двучлена чаще всего встречается при решении уравнений, которые можно привести к такому виду, чтобы одна часть уравнения представляла собой сумму квадратов двучлена.

Переход к системе уравнений.

Этот приём целесообразен при решении уравнений вида

где коэффициенты  и  равны, противоположны по знаку или отличаются на постоянный множитель.

Раскрытие скобок парами.

Такой метод даёт хороший эффект в уравнениях вида

Где  или  или

Раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения.

Раскрытие скобок парами и деление обеих частей уравнения целесообразно применять в случаях, когда перед нами уравнение вида

где , или  или .

Сведение к однородному уравнению.

Преобразовав один из множителей и выделив из него выражение, равное второму множителю и подставляя полученное выражение в исходное уравнение, удаётся прийти к однородному уравнению второй степени, т.е. к уравнению вида

где - постоянные, отличные от нуля, а , - многочлены.

Тригонометрическая подстановка.

Тригонометрическая подстановка используется в тех случаях, когда область определения исходного уравнения совпадает с областью значения тригонометрической функции или включается в эту область.

4. Комплект типовых задач, сводящихся к применению метода замены при решении уравнений

Исходя из четвёртой задачи курсовой работы, составим комплект типовых задач, сводящихся к применению метода замены при решении уравнений.

Пример 1.

Решение. ОДЗ уравнения есть все действительные . Сделаем замену неизвестной , где . Тогда исходное уравнение запишется в виде

 (1)

, то уравнение (1)

Из решения этих уравнений промежутку  принадлежат только . Поэтому

Ответ:

Пример 2.

Решение. Если сделать замену  уравнение упрощается, но остаётся иррациональным. Существенного продвижения можно достичь, если ввести новую переменную:

 или посторонний корень

 

Ответ:

Пример 3.

Решение. Видим, что к данному уравнению можно применить ранее указанный нами приём – «раскрытие скобок парами». Суммы чисел, стоящих в первой и четвёртой, во второй и третьей скобках, равны, т.е. 1+5=2+4. Перемножив эти пары скобок, приходим к уравнению:

Введём замену: , получим Решив квадратное уравнение  находим, что  или

Возвращаемся к исходной переменной и решаем совокупность уравнений:

В первом уравнении совокупности  корней нет.

Перепишем второе уравнение:

Ответ:

Пример 4.

Решение. Заметим, что произведение чисел, стоящих в первой и четвёртой, во второй и третьей скобках, равны, т.е.  Перемножим указанные пары скобок, запишем уравнение

Так как  не есть решение данного уравнения, то, разделив обе части на , получим равносильное исходному уравнение

Делая замену переменных  получаем квадратное уравнение

Обратная замена:

Решения первого уравнения этой совокупности есть

,

.

Второе уравнение этой совокупности решений не имеет.

Ответ:

Пример 5.

Решение. Обозначим через . Данное уравнение перепишем в виде . Поскольку  не есть решение этого уравнения, то это уравнение равносильно уравнению

Сделаем обратную замену:

Ответ:

Пример 6.

Прежде, чем решить заданное уравнение, продемонстрирую алгоритм решения возвратного уравнения:

– разделить левую и правую части уравнения на . При этом не происходит потери решения, т. к.  не является корнем исходного уравнения при

– группировкой привести полученное уравнение к виду

– ввести новую переменную , тогда выполнено  т.е.  в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным

– решить его относительно , возвратиться к исходной переменной.

Решение. Исходя из алгоритма решения таких уравнений, разделим левую и правую части уравнения на , получим равносильное ему уравнение

.

Сгруппировав слагаемые, перепишем уравнение в виде

или в виде

Положив  получим уравнение

Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

Ответ:

Пример 7.

Решение. Обозначим  

Таким образом, для  и  имеем симметричную систему:

Обозначим  тогда

Таким образом,

Ответ:

Пример 8.

Решение. Можно в этом уравнении освободиться от знаменателя, проделать все необходимые преобразования и убедиться, что получившееся уравнение четвёртой степени является возвратным. Но лучше это сделать быстрее. Поделим числитель и знаменатель дроби, расположенной в левой части, на . Получим

Положим , тогда

Обратная замена:

 или

  корней нет.

Ответ:

Пример 9.

Решение. Так как  не является корнем данного уравнения, то, разделив обе его части на , получим уравнение

Сделав замену неизвестной  последнее уравнение перепишем в виде

Вернёмся к исходной переменной:

Ответ:

Пример 10.

Решение. Поскольку в левой части стоит сумма двух квадратов, естественно попытаться дополнить её до квадрата суммы или разности. Во втором случае получим

Введём замену:  получим

Вернёмся к «старой» переменной:

Ответ:

Пример 11.

Решение. Обозначим  тогда получим

 

Обратная замена:

Ответ:

Пример 12.

Решение. Так как  не является решением уравнения, то, разделив числитель и знаменатель каждой дроби в левой части на , перепишем его в виде

Сделав замену переменных  перепишем уравнение в виде

Решения этого уравнения есть

Обратная замена:

Ответ: .

Пример 13.

Решение. Обозначим  через , т.е. сделаем замену переменных  или  Тогда первоначальное уравнение можно переписать в виде  или, применяя формулу  в виде

Поскольку корни квадратного уравнения  есть , то решения биквадратного уравнения есть

Следовательно, решения исходного уравнения таковы

Ответ:

Пример 14.

Решение. Представляя это уравнение в виде  вводим новое неизвестное  Уравнение примет вид

Обратная замена:

Ответ:

Пример 15.

Решение. Умножив обе части уравнения на 12 и обозначив  через , получим уравнение . Перепишем это уравнение в виде

 (1)

Замена: .Перепишем уравнение в виде . Уравнение (1).

Обратная замена:

Ответ:

Пример 16.

Решение. Если раскрыть скобки и привести подобные, то получим уравнение пятой степени стандартного вида. Но если ввести новые переменные  и , то получим уравнение , являющееся однородным уравнением степени 3 относительно и .

Однородные уравнения относительно  и  обладают тем свойством, что если разделить все члены уравнения на наивысшую степень одной из переменных, например , если  не является корнем уравнения, то оно превращается в уравнение с одной переменной .

Решим уравнение . Разделим многочлен  на , перейдём к равносильному уравнению

Ответ: .

Заключение

В последнее время алгебраические уравнения выше второй степени являются частью выпускных экзаменов за курс средней школы, они встречаются на вступительных экзаменах в ВУЗы, а также являются неотъемлемой частью ЕГЭ. Основные методы решения таких уравнений были отмечены в нашей работе. Также было раскрыто содержание основных понятий и утверждений, относящихся к теории решения уравнений. Определив самый распространённый метод решения уравнений, выявили его применение в стандартных и не стандартных ситуациях.

Исходя из третьей задачи курсовой работы, мы осуществили типизацию приёмов введения новых неизвестных при решении алгебраических уравнений. Выделили, что новая переменная может вводиться как явно, так и неявно.

В данной работе был составлен и решён комплект типовых задач, сводящихся к применению метода замены при решении уравнений.

Итак, нам удалось изучить возможности метода замены неизвестного при решении алгебраических уравнений и продемонстрировать их применение в стандартных и нестандартных ситуациях, т.е. цель курсовой работы достигнута.

Список литературы

1.    Черкасов, О.Ю. Математика для поступающих в вузы / О.Ю. Черкасов, А.Г. Якушев. – Оформление «Московский лицей», 1996. – 348 с.

2.    Фирстова, Н.И. Метод замены переменной при решении алгебраических уравнений / Н.И. Фирстова // Математика в школе – 2002. – №5. – С. 68 – 71.

3.    Олехник, С.Н. Нестандартные приёмы решения уравнений и неравенств: Справочник / С.Н. Олехник, М.К. Потапов, П.И. Пасиченко. – М.: Изд-во МГУ, 1991. – 144 с.

4.    Шарыгин, И.Ф. Решение задач: Учебное пособие для 10 кл. общеобразоват. учреждений / И.Ф. Шарыгин. – М.: Просвещение, 1994. – 252 с.

5.    Егерев, В.К. Сборник задач по математике для поступающих в втузы: Учеб.пособие / В.К. Егерев, Б.А. Кордемский, В.В. Зайцев и др.; под ред. М.И. Сканави. – М.: Высшая школа, 1993. – 528 с.

6.    Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа. 10–11 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2005.

7.    Гусев, В.А. Справочник по математике / В.А. Гусев, А.Г. Мордкович. – М.: Просвещение, 1995. – 448 с.

8.    Литвиненко, В.Н. Практикум по решению математических задач: Алгебра. Тригонометрия. Учеб. пособие для студентов пед. инст-ов по матем-ой специальности / В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович. – М.: Просвещение, 1984. – 288 с.

9.    Виленкин, Н.Я. Алгебра: Учеб.пособие для уч-ся 9 кл. с углублен. изучением матем-ки / Н.Я. Виленкин, Г.С. Сурвилло, А.С. Симонов, А.И. Кудрявцев; под ред. Н.Я. Виленкина. – М.: Просвещение, 2001. – 384 с.

10. Выгодский, М.Я. Справочник по элементарной математике / М.Я. Выгодский. – М.: Наука, 1986. – 320 с.