Навигация
Главный член погрешности
39910
знаков
10
таблиц
20
изображений
1.7.2 Главный член погрешности
Для методов высших порядков строгие оценки погрешностей, подобные (2.7.7), становятся очень непрактичными. Поэтому гораздо более реалистично рассматривать первый ненулевой член в тейлоровским разложении погрешности.
Теорема.
Если метод Рунге-Кутты имеет порядок 
и если 
непрерывно дифференцируема 
раз, то для главного члена погрешности имеем:
. (2.7.11)
(2.7.12)
1.7.3 Оценка глобальной погрешности
Глобальной (накопленной) погрешностью[3] называется погрешность численного решения после выполнения нескольких шагов. Пусть мы имеем некоторый одношаговый метод, с помощью которого при заданных начальных данных 
и длине шага 
мы определяем численное решение 
, аппроксимирующее 
. Воспользуемся обозначениями Хенричи для этого процесса:
, (2.7.13)
и назовем 
функцией приращения для данного метода.
Оценивание глобальной погрешности методами a) и b)
Тогда численное решение в точке 
получается с помощью пошаговой процедуры
, (2.7.14)
и наша задача состоит в оценке глобальной погрешности
(2.7.15)
Эта оценка находится простым способом: локальные погрешности переносятся в конечную точку и затем складываются. Этот «перенос погрешностей» можно выполнить двумя разными способами:
a) перенося погрешность вдоль кривых точных решений; этот способ может дать хорошие результаты, если известны хорошие оценки распространения погрешности для точных решений.
b) перенося погрешность 
-го шага посредством выполнения 
шагов численного метода; этот способ использовали в своих доказательствах Коши (1824) и Рунге (1905), он легко обобщается на многошаговые методы.
В обоих случаях оценим сначала локальные погрешности:
. (2.7.16)
Займемся теперь оценкой перенесенных погрешностей 
.
a) Теорема.
Обозначим 
окрестность точки 
, где 
– точное решение уравнения
.
Пусть в справедливы оценки локальных погрешностей (2.7.16) и выполнено одно из условий:
или 
. (2.7.17)
Тогда имеет место следующая оценка глобальной погрешности (2.7.15):
, (2.7.18)
где 
,
и достаточно мало для того, чтобы численное решение оставалось в .
Доказательство.
При 
оценка (2.7.18) переходит в 
.
. (2.7.19)
Подставляя в неравенство
выражение (2.7.18) с учетом (2.7.16) и принимая во внимание, что 
, приходим к такому неравенству:
.
Выражение в квадратных скобках мажорируется следующими интегралами:
, (2.7.20)
. (2.7.21)
Отсюда вытекает справедливость оценки (2.7.18).
b) При втором способе переноса погрешностей рассмотрим кроме (2.7.14) еще одно численное решение, значения которого в соседних узлах связаны равенством
.
Оценим норму разности 
через 
. Для 
формулы метода Рунге-Кутты запишем в следующих обозначениях:
Вычитая из этих формул соответствующие формулы (2.3.1), получим для норм разностей такие оценки:
Оценивание римановых сумм методом a) и b)
Пусть 
– постоянная Липшица для функции и пусть 
. Тогда функция приращения для метода (2.3.1) удовлетворяет неравенству
, (2.7.22)
где
. (2.7.23)
Из (2.7.22) получаем искомую оценку:
, (2.7.24)
и с её помощью оценку перенесенных погрешностей вместо оценки (2.7.19).
Предположим, что для начальных значений, лежащих на точном решении, локальная погрешность удовлетворяет оценке
(2.7.25)
и что в окрестности решения функция приращения удовлетворяет неравенству
. (2.7.26)
Тогда для глобальной погрешности (2.7.15) справедлива следующая оценка:
, (2.7.27)
где 
.
Похожие работы
... 1 0.0001 Графики решения приведены на Рисунке 8, а численные значения в таблице 8. Рисунок показывает, что выходное напряжение автогенератора (кривая 1) достаточно близко к синусоидальному, чего нельзя сказать о входном напряжении усилителя (кривая 2). Таблица 8 АРГУМЕНТ ФУНКЦИЯ 1 ФУНКЦИЯ 2 ФУНКЦИЯ 3 ФУНКЦИЯ 4 ФУНКЦИЯ 5 370.0 ...
... с единицами измерений физических величин в системе MathCAD? 11. Подробно охарактеризуйте текстовые, графические и математические блоки. Лекция №2. Задачи линейной алгебры и решение дифференциальных уравнений в среде MathCAD В задачах линейной алгебры практически всегда возникает необходимость выполнять различные операции с матрицами. Панель операторов с матрицами находится на панели Math. ...
... методы (метод Гаусса). Однако, при решении на ЭВМ систем высокого порядка (более 200 уравнений в системе), предпочтительными являются итерационные методы. Реализация решения задачи анализа линейного стационарного объекта может быть осуществлена с помощью средств матричной алгебры пакета MathCAD. 1.2. Последовательность выполнения работы 1. Согласно номеру варианта (две последние цифры ...
0 комментариев