Экстремумы функции

2. Экстремумы функции

Точка х₀ из области определения функции f(х) называется точкой минимума этой функции, если найдётся такая - окрестность  точки х₀, что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство f(х)> f(х₀).

Точка х₀ из области определения функции f(х) называется точкой максимума этой функции, если найдётся такая - окрестность  точки х₀, что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство f(х)< f(х₀).

Точки минимума и максимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках называются экстремумами функции.

Необходимые условия существования экстремума даёт теорема Ферма:

Пусть функция y = f(x) определена на интервале (a, b) и в некоторой точке x₀ этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Тогда возможны только два случая:

1)   производная функции f'(x₀) не существует;

2)    f'(x₀)=0.

Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками (первого рода). Экстремум функции, если он существует, может быть только в критических точках. Однако не во всякой критической точке функция имеет экстремум. Поэтому, чтобы выяснить, в каких точках функция имеет экстремум, необходимо знать достаточные условия существования экстремума.

Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция y=f(х) непрерывна в точке х₀ и в некоторой её - окрестности имеет производную, кроме, быть может, самой точки х₀. Тогда:

1) если производная f'(x) при переходе через точку х₀ меняет знак с плюса на минус, то х₀ является точкой максимума.

2) если производная f'(x) при переходе через точку х₀ меняет знак с минуса на плюс, то х₀ является точкой минимума.

3) если производная при переходе через точку х₀ не меняет знак, то в точке х₀ функция f(x) не имеет экстремума.

Второе достаточное условие экстремума. Если функция y=f(х) определена и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки х₀, причём f'(x₀)=0, а f''(x₀)0, то в точке х₀ функция f(х) имеет максимум, если f''(x₀)<0, и минимум, если f''(x₀)>0.

3. Выпуклость графика функции

График функции y=f(х), х(a,b) называется выпуклым вверх (вогнутым вниз) на интервале (a,b), если график расположен ниже (точнее не выше) любой своей касательной. Сама функция f(х) также называется выпуклой вверх (вогнутой вниз).

График функции y=f(х), х(a,b) называется выпуклым вниз (вогнутым вверх) на интервале (a,b), если график расположен выше (точнее не ниже) любой своей касательной. Сама функция f(х) также называется выпуклой вниз (вогнутой вверх).

На интервале выпуклости вверх (вогнутости вниз) производная функции убывает. На интервале выпуклости вниз (вогнутости вверх) производная f'(x) возрастает.

Достаточное условие выпуклости графика функции. Если на интервале (a,b) дважды дифференцируемая функция y=f(х), х(a,b) имеет отрицательную (положительную) производную второго порядка, то график функции является выпуклым вверх (вниз).

Исследовать на выпуклость график функции y=f(х) означает найти те интервалы из области её определения, в которых вторая производная f''(x) сохраняет свой знак. Необходимо заметить, что f''(x) может менять свой знак лишь в точках, где f''(x)=0 или не существует. Такие точки принято называть критическими точками второго рода.

2. Экономический смысл понятия производной

 

2.1 Предельные величины

Если спросить экономиста “Что такое производная?”, то он ответит: «маржинализм». Слово «маржинализм» охватывает целый комплекс понятий в современной экономической науке.

В ХIХ в. в области экономической теории произошло событие, которое впоследствии привело к подлинному перевороту в методах экономического поведения людей или фирм, изменило характер научно-экономического мышления. Классическая наука обычно имела дело со средними величинами: средняя цена, средняя производительность труда и т.д. Но постепенно сложился иной подход к анализу экономических процессов и явлений. Во второй половине ХIХ в. была сформулирована теория маржинализма. Классиками этой теории стали экономисты австрийской школы К. Менгер (1840-1921), Ф. фон Визер (1851-1926), Е. фон Бём-Баверк (1851-1914), а также английский экономист У.С. Джевонс (1835-1882).

"Marginal" в переводе с английского языка означает "находящийся на самом краю", "предельный", "граничный". К предельным величинам в экономике относятся: предельные издержки, предельный доход, предельная полезность, предельная производительность, предельная склонность к потреблению и т.д. Понятие предельных величин позволило создать совершенно новый инструмент исследования и описания экономических явлений, посредством которого стало возможно решать научные проблемы, прежде не решённые или решённые неудовлетворительно. Все эти величины самым тесным образом связаны с понятием производной. Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс, изменение экономического объекта. Следовательно, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) с течением времени или относительно другого исследуемого фактора.

Конечно, экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу неделимости многих экономических расчетов, а также прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). В то же время во многих случаях можно эффективно использовать предельные величины.

Рассмотрим ситуацию: пусть q – количество произведённой продукции, ТC(q) – соответствующие данному выпуску совокупные издержки (total costs), тогда Dq – прирост продукции, а DТС – прирост издержек производства.

Предельные издержки МС (marginal costs) выражают дополнительные затраты на производство каждой дополнительной единицы продукции. Другими словами,

где Используя равенство  получим

Итак, предельные издержки есть не что иное, как первая производная от совокупных издержек, если последние представлены как функция от выпускаемого количества продукции.

Аналогичным образом определяются и многие другие экономические величины, имеющие предельный характер.

Предельная выручка MR (marginal revenue) – это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ной к (n+1)-ой единице продукта. Она представляет собой первую производную от выручки:

.

Для хозяйствующего субъекта, который действует в условиях совершенной конкуренции: TR = P*Q, где TR – выручка (total revenue); P – цена (price). Таким образом , Þ MR= P. Это равенство верно для рынка совершенной конкуренции.

Любой индивид использует свой доход Y после уплаты налогов на потребление C и сбережение S. Ясно, что лица с низким доходом целиком используют его на потребление, а на сбережение средств не остается. С ростом дохода субъект не только больше потребляет, но и больше сберегает. Как установлено экономической наукой, потребление и сбережение зависят от размера дохода:

 

Y= C(Y) + S(Y).

Использование производной позволяет определить такую категорию, как предельную склонность к потреблению MPC (marginal property to consume), показывающую долю прироста личного потребления в приросте дохода:

.

По мере увеличения доходов MPC уменьшается. Долю прироста сбережений в приросте дохода показывает предельная склонность к сбережению MPS (marginal propensity to save):

С увеличением доходов MPS увеличивается.

Поскольку ограниченность ресурсов принципиально не устранима, то решающее значение приобретает отдача от факторов производства. Здесь также применима производная, как инструмент исследования. Пусть применяемый капитал постоянен, а затраты труда увеличиваются. Можно ввести в экономический анализ следующую категорию – предельный продукт труда MP_L (marginal product of labor) – это дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений труда при неизменной величине капитала:

.

Если вложения осуществляются достаточно малыми порциями, то

,

так как dY - результат, dL - затраты, то MP_L – предельная производительность труда.

Аналогично, MP_K (marginal product of capital) – предельный продукт капитала – дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений капитала K при неизменной величине труда:

.

Если вложения осуществляются малыми порциями, то

.

 

MP_k характеризует предельную производительность капитала.

Категория предельной полезности MU (marginal utility) выражает дополнительную полезность от каждой дополнительной потреблённой единицы блага:

При бесконечно малых изменениях предельная полезность есть производная от совокупной полезности, которая представлена как функция от потребляемого количества продукта: