Использование производной при решении задач по экономической теории

4. Использование производной при решении задач по экономической теории

 

Задача №1: Функция спроса имеет вид Q_D=100 – 20p, постоянные издержки TFC (total fixed costs) составляют 50 денежных единиц, а переменные издержки TVC (total variable costs) на производство единицы продукции – 2 денежные единицы. Найти объём выпуска, максимизирующий прибыль монополиста.

Решение: Прибыль есть выручка минус издержки:

 

П=TR – TC,

где TR=p*Q; TC=TFC+TVC.

Найдём цену единицы продукции:

 

20p=100 – Q p=5 – Q/20.

Тогда

 

П=(5 – Q/20)Q – (50 + 2Q)= – Q² + 60Q - 1000 ® max

Найдём производную: П'(Q)= –2Q+60.

Приравняем производную к нулю: –2Q+60=0 Q=30.

При переходе через точку Q=30 функция П(Q) меняет свой знак с плюcа на минус, следовательно, эта точка является точкой максимума, и в ней функция прибыли достигает своего максимального значения. Таким образом, объём выпуска, максимизирующий прибыль, равен 30 единицам продукции.

Задача №2: Объём спроса на продукцию предприятия выражается формулой: Q_D=200 – 4p, а объём предложения – Q_S=6p – 100. Величина переменных издержек на единицу продукции TVC=25. Чему должна быть равна цена на единицу продукции p, чтобы прибыль П была максимальной?

Решение: В точке потребительского равновесия Q_S=Q_D, то есть

 

6p₀ – 100=200 – 4p₀,

откуда p₀= 30 (ден.ед.) – равновесная цена, Þ Q₀=80 (ед.) – равновесный объём продукции.

Изобразим графически кривые спроса и предложения, а также точку потребительского равновесия, находящуюся на их пересечении (см. рис. 2).

Рассмотрим три возможных варианта:

1) p>p₀, Þ Q=Q_D, то есть П=Q_Dp – Q_D TVC=Q_D(p – TVC),

подставим значения и получим:

 

П=(200 – 4p)*(p – 25)= –4p² + 300p – 5000.

2) p=p₀, Þ Q=Q_D=Q_S, Þ Q_{продажи}=Q₀=80 (ед.), Þ

П₂=80*(30 – 25)=400 (ден. ед.).

3) p<p₀: Þ Q= Q_S, то есть П=Q_Sp – Q_S TVC=Q_S(p – TVC),

подставим значения:

 

П=(6p – 100)(p – 25)=6p² – 250p + 2500.

Далее случаи (1) и (3) можно решать аналитически, подставляя различные значения цены из интервала её значений или как-либо иначе, но гораздо проще выявить экстремумы прибыли через производную:

1) П= – 4p² + 300p – 5000

П'= – 8p + 300;

– 8p + 300=0 Þ p=75/2=37,5 (ден. ед.).

Значит, Q=Q_D=200 – 4*37,5=200 – 150=50 (ед.), а

 

П₁= – 4p² + 300p – 5000= – 4*(37,5)²+300*37,5 – 5000=625 (ден. ед.).

2) Во втором случае прибыль была уже найдена: П₂=400 (ден. ед.).

3) П=6p² – 250p + 2500

П'=12p – 250;

12p – 250=0 Þ p=125/6=20⁵/₆ (ден. ед.).

Значит, Q=Q_S=6*20⁵/₆ – 100=125 – 100=25 (ед.), a

П₃=6p² – 250p + 2500=6*(20⁵/₆)² – 250*20⁵/₆+2500= – 104¹/₆(ден. ед.).

Можно заключить, что прибыль максимальна в первом случае, следовательно, цена единицы продукции должна равняться 37,5 денежным единицам.

Задача №3: Какова максимальная выручка монополиста, если спрос вплоть до пересечения с осями описывается линейной функцией Q=b – ap, где p - цена товара, выпускаемого монополистом; a и b – коэффициенты функции спроса?

Решение: Выручка TR=Qp=p(b – ap) достигнет максимума при равенстве нулю производной по цене:

 

TR'=(p(b – ap))'=0.

TR'=p'*(b – ap)+ (b – ap)'*p=b – ap – ap=b – 2ap=0 Þ p= Þ

Þ Q=b – ap=b - a=.

При этом максимум выручки составит

 

Задача №4: Найти оптимальный объём производства фирмы, функция прибыли которой задана таким образом: П(q)=TR(q) – TC(q)=q² – 8q + 10.

Решение: Найдём производную данной функции:

 

П

Приравняем производную к нулю и найдём точку экстремума:

 

П

Является ли объём выпуска, равный четырём единицам продукции, оптимальным для фирмы? Чтобы ответить на этот вопрос, надо проанализировать характер изменения знака производной при переходе через точку экстремума.

При П и прибыль убывает.

При П и прибыль возрастает.

Как видим, при переходе через точку экстремума производная меняет свой знак с минуса на плюс. Следовательно, в точке экстремума  прибыль принимает минимальное значение, и таким образом, этот объём производства не является оптимальным для фирмы.

Каким же всё-таки будет оптимальный объём выпуска для данной фирмы? Ответ на этот вопрос зависит от дополнительного исследования производственных возможностей фирмы. Если фирма не может производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (П(q=8)=П(q=0)=10), то оптимальным решением для фирмы будет вообще ничего не производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений и/или оборудования. Если же фирма способна производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции, то оптимальным решением для фирмы будет выпуск на пределе своих производственных возможностей.

 Задача №5: Найти объём производства, при котором фирма, действующая на рынке совершенной конкуренции, будет получать максимальную прибыль, если p=15, TC(q)=q³ + 3q.

Решение: Прибыль фирмы, действующей на рынке совершенной конкуренции, максимизируется при равенстве предельной выручки и предельных издержек: MR=MC. Поскольку при совершенной конкуренции наблюдается равенство цены и предельной выручки: P=MR, то можно утверждать, что фирма максимизирует прибыль при P=MC.

Найдём предельные издержки: MC=TC'=3q² + 3.

 

3q² + 3=15;

3q²=12 Þ q=2.

Итак, мы выяснили, что при цене p=15 фирма предложит на продажу 2 единицы продукции.

Задача №6: Пусть  – издержки фирмы-монополиста, Q_D(p)=40 – 2p – функция спроса. Найти оптимальный для данной монополии объём производства и соответствующую цену единицы продукции.

Решение: Выразим зависимость цены от количества произведённой продукции:

 

Тогда прибыль  будет равна:

В точке q₀ максимума прибыли выполняется равенство  Отсюда оптимальный для монополиста объём производства равен q₀=10. Соответствующая цена будет:

 

p₀=p(q₀)=

При этом предельные издержки  Таким образом, цена, наиболее выгодная для данной монополии, в полтора раза выше её предельных издержек.

Задача №7: Объём продукции u цеха в течение рабочего дня представляет функцию  где t – время (ч). Найти производительность труда через 2 часа после начала работы.

Решение: За период времени от t₀=2 до (t₀ + Dt) количество произведенной продукции изменится от u₀=u(t₀) до значения u₀+Du = u(t₀+Dt). Средняя производительность труда за этот период времени составит Du/Dt. Следовательно, производительность труда в момент t₀ можно определить, как предельное значение средней производительности труда за период времени от t₀ до (t₀+Dt) при Dt®0, то есть

u'(t)=

Итак, производительность труда в момент времени через 2 часа после начала работы составит 43 единицы продукции в час.

 

Заключение

 

В результате проведенного исследования можно сделать следующие выводы:

1.         Производная является важнейшим инструментом экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул.

2.         При помощи производной можно значительно расширить круг рассматриваемых при решении задач функций.

3.         Экономический смысл производной состоит в следующем: производная выступает как скорость изменения некоторого экономического процесса с течением времени или относительно другого исследуемого фактора.

4.         Наиболее актуально использование производной в предельном анализе, то есть при исследовании предельных величин (предельные издержки, предельная выручка, предельная производительность труда или других факторов производства и т. д.).

5.         Производная находит широкое приложение в экономической теории. Многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем (например, представляет интерес экономическая интерпретация теоремы Ферма, выпуклости функции и т. д.).

6.         Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории.

Словарь экономических терминов

 

Производственные возможности фирмы – совокупность факторов производства, которыми располагает фирма и имеющийся уровень технологии их использования.

Факторы производства – то, что участвует в процессе производства и способствует созданию конечного продукта (товара или услуги): труд, земля, капитал, предпринимательская способность.

Спрос – количество товаров и услуг, которое желает и имеет возможность приобрести потребитель по каждой конкретной цене.

Предложение – количество товаров и услуг, которое желает и имеет возможность предложить производитель по каждой конкретной цене.

Монополия – специфический вид конкуренции, при котором на рынке присутствует единственный продавец, производящий специфический, не имеющий близких заменителей продукт и может оказывать значительное влияние на рыночную цену. Единственной границей установления цены является платежеспособный спрос и цена на мировом рынке.

Совершенная конкуренция – вид конкуренции, при котором на рынке действует множество продавцов и покупателей, доля каждого из которых на рынке незначительна. Производится однородная продукция и отсутствует возможность влияния на рыночную цену (она устанавливается путём взаимодействия спроса и предложения).

Постоянные издержки – TFC(total fixed costs) – затраты, которые не изменяются при изменении объёма производства: амортизация, арендная плата, зарплата управленческого персонала, коммунальные услуги (не связанные с объёмом производства) и т.д.

Переменные издержки – TVC(total variable costs) – затраты, которые изменяются при изменении объёма производства: затраты на сырьё, материалы и топливо, зарплата рабочих, коммунальные услуги (связанные с объёмом производства) и т.д.

Благо – это предмет, явление, продукт труда, удовлетворяющий определённую человеческую потребность и отвечающий интересам, целям, устремлениям людей.

Товар – специфическое экономическое благо, произведённое для обмена.

Услуги – целесообразная деятельность человека, результат которой имеет полезный эффект, удовлетворяющий какие-либо потребности человека. Специфика услуг как товара состоит в том, что потребительная стоимость услуги не имеет вещественной формы, также услугу нельзя накопить, она может быть потреблена в момент производства.