4. Использование производной при решении задач по экономической теории
Задача №1: Функция спроса имеет вид QD=100 – 20p, постоянные издержки TFC (total fixed costs) составляют 50 денежных единиц, а переменные издержки TVC (total variable costs) на производство единицы продукции – 2 денежные единицы. Найти объём выпуска, максимизирующий прибыль монополиста.
Решение: Прибыль есть выручка минус издержки:
П=TR – TC,
где TR=p*Q; TC=TFC+TVC.
Найдём цену единицы продукции:
20p=100 – Q p=5 – Q/20.
Тогда
П=(5 – Q/20)Q – (50 + 2Q)= – Q2 + 60Q - 1000 ® max
Найдём производную: П'(Q)= –2Q+60.
Приравняем производную к нулю: –2Q+60=0 Q=30.
При переходе через точку Q=30 функция П(Q) меняет свой знак с плюcа на минус, следовательно, эта точка является точкой максимума, и в ней функция прибыли достигает своего максимального значения. Таким образом, объём выпуска, максимизирующий прибыль, равен 30 единицам продукции.
Задача №2: Объём спроса на продукцию предприятия выражается формулой: QD=200 – 4p, а объём предложения – QS=6p – 100. Величина переменных издержек на единицу продукции TVC=25. Чему должна быть равна цена на единицу продукции p, чтобы прибыль П была максимальной?
Решение: В точке потребительского равновесия QS=QD, то есть
6p0 – 100=200 – 4p0,
откуда p0= 30 (ден.ед.) – равновесная цена, Þ Q0=80 (ед.) – равновесный объём продукции.
Изобразим графически кривые спроса и предложения, а также точку потребительского равновесия, находящуюся на их пересечении (см. рис. 2).
Рассмотрим три возможных варианта:
1) p>p0, Þ Q=QD, то есть П=QDp – QD TVC=QD(p – TVC),
подставим значения и получим:
П=(200 – 4p)*(p – 25)= –4p2 + 300p – 5000.
2) p=p0, Þ Q=QD=QS, Þ Qпродажи=Q0=80 (ед.), Þ
П2=80*(30 – 25)=400 (ден. ед.).
3) p<p0: Þ Q= QS, то есть П=QSp – QS TVC=QS(p – TVC),
подставим значения:
П=(6p – 100)(p – 25)=6p2 – 250p + 2500.
Далее случаи (1) и (3) можно решать аналитически, подставляя различные значения цены из интервала её значений или как-либо иначе, но гораздо проще выявить экстремумы прибыли через производную:
1) П= – 4p2 + 300p – 5000
П'= – 8p + 300;
– 8p + 300=0 Þ p=75/2=37,5 (ден. ед.).
Значит, Q=QD=200 – 4*37,5=200 – 150=50 (ед.), а
П1= – 4p2 + 300p – 5000= – 4*(37,5)2+300*37,5 – 5000=625 (ден. ед.).
2) Во втором случае прибыль была уже найдена: П2=400 (ден. ед.).
3) П=6p2 – 250p + 2500
П'=12p – 250;
12p – 250=0 Þ p=125/6=205/6 (ден. ед.).
Значит, Q=QS=6*205/6 – 100=125 – 100=25 (ед.), a
П3=6p2 – 250p + 2500=6*(205/6)2 – 250*205/6+2500= – 1041/6(ден. ед.).
Можно заключить, что прибыль максимальна в первом случае, следовательно, цена единицы продукции должна равняться 37,5 денежным единицам.
Задача №3: Какова максимальная выручка монополиста, если спрос вплоть до пересечения с осями описывается линейной функцией Q=b – ap, где p - цена товара, выпускаемого монополистом; a и b – коэффициенты функции спроса?
Решение: Выручка TR=Qp=p(b – ap) достигнет максимума при равенстве нулю производной по цене:
TR'=(p(b – ap))'=0.
TR'=p'*(b – ap)+ (b – ap)'*p=b – ap – ap=b – 2ap=0 Þ p= Þ
Þ Q=b – ap=b - a=.
При этом максимум выручки составит
Задача №4: Найти оптимальный объём производства фирмы, функция прибыли которой задана таким образом: П(q)=TR(q) – TC(q)=q2 – 8q + 10.
Решение: Найдём производную данной функции:
П
Приравняем производную к нулю и найдём точку экстремума:
П
Является ли объём выпуска, равный четырём единицам продукции, оптимальным для фирмы? Чтобы ответить на этот вопрос, надо проанализировать характер изменения знака производной при переходе через точку экстремума.
При П и прибыль убывает.
При П и прибыль возрастает.
Как видим, при переходе через точку экстремума производная меняет свой знак с минуса на плюс. Следовательно, в точке экстремума прибыль принимает минимальное значение, и таким образом, этот объём производства не является оптимальным для фирмы.
Каким же всё-таки будет оптимальный объём выпуска для данной фирмы? Ответ на этот вопрос зависит от дополнительного исследования производственных возможностей фирмы. Если фирма не может производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (П(q=8)=П(q=0)=10), то оптимальным решением для фирмы будет вообще ничего не производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений и/или оборудования. Если же фирма способна производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции, то оптимальным решением для фирмы будет выпуск на пределе своих производственных возможностей.
Задача №5: Найти объём производства, при котором фирма, действующая на рынке совершенной конкуренции, будет получать максимальную прибыль, если p=15, TC(q)=q3 + 3q.
Решение: Прибыль фирмы, действующей на рынке совершенной конкуренции, максимизируется при равенстве предельной выручки и предельных издержек: MR=MC. Поскольку при совершенной конкуренции наблюдается равенство цены и предельной выручки: P=MR, то можно утверждать, что фирма максимизирует прибыль при P=MC.
Найдём предельные издержки: MC=TC'=3q2 + 3.
3q2 + 3=15;
3q2=12 Þ q=2.
Итак, мы выяснили, что при цене p=15 фирма предложит на продажу 2 единицы продукции.
Задача №6: Пусть – издержки фирмы-монополиста, QD(p)=40 – 2p – функция спроса. Найти оптимальный для данной монополии объём производства и соответствующую цену единицы продукции.
Решение: Выразим зависимость цены от количества произведённой продукции:
Тогда прибыль будет равна:
В точке q0 максимума прибыли выполняется равенство Отсюда оптимальный для монополиста объём производства равен q0=10. Соответствующая цена будет:
p0=p(q0)=
При этом предельные издержки Таким образом, цена, наиболее выгодная для данной монополии, в полтора раза выше её предельных издержек.
Задача №7: Объём продукции u цеха в течение рабочего дня представляет функцию где t – время (ч). Найти производительность труда через 2 часа после начала работы.
Решение: За период времени от t0=2 до (t0 + Dt) количество произведенной продукции изменится от u0=u(t0) до значения u0+Du = u(t0+Dt). Средняя производительность труда за этот период времени составит Du/Dt. Следовательно, производительность труда в момент t0 можно определить, как предельное значение средней производительности труда за период времени от t0 до (t0+Dt) при Dt®0, то есть
u'(t)=
Итак, производительность труда в момент времени через 2 часа после начала работы составит 43 единицы продукции в час.
Заключение
В результате проведенного исследования можно сделать следующие выводы:
1. Производная является важнейшим инструментом экономического анализа, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул.
2. При помощи производной можно значительно расширить круг рассматриваемых при решении задач функций.
3. Экономический смысл производной состоит в следующем: производная выступает как скорость изменения некоторого экономического процесса с течением времени или относительно другого исследуемого фактора.
4. Наиболее актуально использование производной в предельном анализе, то есть при исследовании предельных величин (предельные издержки, предельная выручка, предельная производительность труда или других факторов производства и т. д.).
5. Производная находит широкое приложение в экономической теории. Многие, в том числе базовые, законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем (например, представляет интерес экономическая интерпретация теоремы Ферма, выпуклости функции и т. д.).
6. Знание производной позволяет решать многочисленные задачи по экономической теории.
Словарь экономических терминов
Производственные возможности фирмы – совокупность факторов производства, которыми располагает фирма и имеющийся уровень технологии их использования.
Факторы производства – то, что участвует в процессе производства и способствует созданию конечного продукта (товара или услуги): труд, земля, капитал, предпринимательская способность.
Спрос – количество товаров и услуг, которое желает и имеет возможность приобрести потребитель по каждой конкретной цене.
Предложение – количество товаров и услуг, которое желает и имеет возможность предложить производитель по каждой конкретной цене.
Монополия – специфический вид конкуренции, при котором на рынке присутствует единственный продавец, производящий специфический, не имеющий близких заменителей продукт и может оказывать значительное влияние на рыночную цену. Единственной границей установления цены является платежеспособный спрос и цена на мировом рынке.
Совершенная конкуренция – вид конкуренции, при котором на рынке действует множество продавцов и покупателей, доля каждого из которых на рынке незначительна. Производится однородная продукция и отсутствует возможность влияния на рыночную цену (она устанавливается путём взаимодействия спроса и предложения).
Постоянные издержки – TFC(total fixed costs) – затраты, которые не изменяются при изменении объёма производства: амортизация, арендная плата, зарплата управленческого персонала, коммунальные услуги (не связанные с объёмом производства) и т.д.
Переменные издержки – TVC(total variable costs) – затраты, которые изменяются при изменении объёма производства: затраты на сырьё, материалы и топливо, зарплата рабочих, коммунальные услуги (связанные с объёмом производства) и т.д.
Благо – это предмет, явление, продукт труда, удовлетворяющий определённую человеческую потребность и отвечающий интересам, целям, устремлениям людей.
Товар – специфическое экономическое благо, произведённое для обмена.
Услуги – целесообразная деятельность человека, результат которой имеет полезный эффект, удовлетворяющий какие-либо потребности человека. Специфика услуг как товара состоит в том, что потребительная стоимость услуги не имеет вещественной формы, также услугу нельзя накопить, она может быть потреблена в момент производства.
... ). Мы придерживаемся точки зрения, согласно которой региональная экономика является ветвью общей экономической теории, относящейся к разделу «Мезоэкономика», то есть рассматриваем региональную экономику как часть крупную подсистему национальной экономики (Макроэкономики). Курс методологически опирается на основы экономической теории и органически связан с конкретными экономическими дисциплинами, ...
... их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. Такие уравнения, содержащие производные, называются дифференциальными. В своей же работе я хочу подробнее остановится на приложениях производной. 1. Понятие производной При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из ...
... , дополнительная отдача будет постоянной. Рента с лучших земель останется на том же уровне R1. 20. Макроэкономика и ее цели. Основные субъекты макроэкономики Макроэкономика – часть экономической теории, изучающая закономерности функционирования и тенденции развития экономики страны в целом. Объект исследования макроэкономики – целостная национальная экономика. Цели макроэкономики: · ...
... бюджета. Исходным теоретическим основанием финансовой политики выступает фискальная политика, как совокупность мер по сознательному манипулированию налогами и государственными расходами. В современной экономической теории существуют различные точки зрения на методы проведения фискальной политики государства. Сторонники кейнсианского направления традиционно ориентируются на создание ...
0 комментариев