Навигация
Решение дифференциального уравнения первого порядка
9297
знаков
0
таблиц
1
изображение
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
СУМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ
К У Р С О В А Я Р А Б О Т А
ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ
на тему:
РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Сумы, 2005 г.
1. Метод Адамса
Этот метод численного интегрирования разработан Адамсом в 1855г. В последствии этот метод был забыт и вновь открыт в начале века. Популяризация метода Адамса и дальнейшее его усовершенствование связаны с именем А.Н. Крылова.
Изложим метод Адамса применительно к уравнению первого порядка
(1)
с начальным условием
(2).
Пусть x
(i=0,1,2,….) – система равностоящих значений с шагом h и 
=
. Очевидно, имеем
(3).
В силу второй интерполяционной формулы Ньютона с точностью до разностей четвертого порядка получаем
(4)
где 
.
Подставляя выражение (4) в формулу (3) и учитывая, что dx=hdq, будем иметь
Отсюда получаем экстраполяционную формулу Адамса
. (5)
Для начала процесса нужны четыре начальных значения 
, так называемый начальный отрезок, который определяют исходя из начального условия (2), каким-нибудь численным методом. Можно, например, использовать метод Рунге-Кутта. Зная эти значения, из уравнения (1) можно найти значения производных
и составить таблицу разностей.
(6)
Дальнейшие значения (i=4,5,…) искомого решения можно шаг за шагом вычислять по формуле Адамса, пополняя по мере необходимости таблицу разностей (6).
Для контроля рекомендуется вычислив первое приближение для 
по формуле
определить 
, подсчитать конечные разности.
, 
, 
(7)
и затем найти второе приближение по более точной формуле
(8)
Если 
и 
отличаются лишь на несколько единиц последнего сохраняемого десятичного разряда, то можно положить 
, а затем, найдя 
, перевычислив конечные разности (7). После этого, строго говоря, следует снова найти
по формуле(8). Поэтому шаг h должен быть таким , чтобы этот пересчёт был излишним.
На практике шаг h выбирают столь малым, чтобы можно было пренебречь членом 
в формуле (8).
Если же расхождение величин 
и 
значительно, то следует уменьшить шаг h.
Обычно шаг h уменьшают в два раза. Покажем, как в этом случае, имея до некоторого значения i таблицу величин 
и
, 
(j
i) c шагом 
, можно просто построить таблицу величин 
(k=0,1,2…) с шагом 
. Для кратности введения сокращенные обозначения:
(k=0,1,2…).
На основе формулы (4) будем иметь
, (9)
где 
. Отсюда, полагая j=i-2 и q=1/2 и учитывая, что 
, находим
. (10)
Аналогично при j=i-1, q=1/2 из формулы (9) получаем, что аргументу 
соответствует значение
. (11)
Что касается значений 
и 
, то они имеются в старой таблице. После этого составляем начальный отрезок для новой таблицы.
и находим конечные разности:
(k=-3,-2,-1),
(k=-3,-2),
(k=-3,).
Дальше таблица продолжается обычным путём, посредством соответствующей модификации формулы (5):
,
(j=0,1,2,…).
Для работы на электронных счётчиках машинах формулу Адамса (5) выгодно применять в раскрытом виде. Учитывая, что
после приведения подобных членов имеем
,
причём 
.
Похожие работы
... значениями и корнями дифференциального уравнения Y(I), квадрат разности, а также производит их суммирование. Далее находится величина погрешности аппроксимации и все данные выводятся на экран. Общая программа решения дифференциального уравнения с последующей аппроксимацией результатов представлена на рис. 7 вместе с программой решения дифференциального уравнения, так как из нее получают значения ...
... в точке хк проводят вычисления ук с шагом h, затем с шагом 2h и берут 1/3 разницы этих значений: | ук*-у(хк)|=1/3(yk*-yk), (2.5.9) где у(х)-точное решение дифференциального уравнения. Таким образом, методом Эйлера можно решать уравнения любых порядков. Например, чтобы решить уравнение второго порядка y//=f(y/,y,x) c начальными условиями y/(x0)=y/0, y(x0)=y0, ...
... площадь, ограниченную заданными параболами Решение Точки пересечения по х: х = -1, х = 5. Площадь фигуры найдем из выражения Ответ: Задача 9 Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка Решение Разделим переменные Проинтегрируем Ответ: Задача 10 Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка, ...
... = cos(aּπּt) и нулевых начальных условиях; 3. Выводы по работе №3 В процессе данной практической работы я изучил возможности математического пакета MathCad в среде Windows для решения дифференциальных уравнений N-го порядка, используемых в инженерных расчетах электротехнических систем. Были выполнены численные методы решения дифференциальных уравнений N-го порядка. Заданное ...
0 комментариев