Розв’язання системи рівнянь методом Гауса

2.1 Розв’язання системи рівнянь методом Гауса

Приклад 1. Знайдемо розв’язок системи рівнянь методом Гауса:

Сформуємо розширену матрицю:

Прямий хід методу Гауса:

Крок 1.

Розділимо перший рядок матриці на

Отримаємо матрицю наступного вигляду:

Крок 2.

Віднімаємо від другого рядка перший рядок, помножений на

Віднімаємо від третього рядка перший рядок, помножений на

Отримана модифікована матриця:

Крок 3.

Розділимо другий рядок на :

Крок 4.

Віднімаємо від третього рядка другий рядок, помножений на

Крок 5.

Розділимо третій рядок матриці на :

Прямий хід метода Гауса закінчено. Обернений хід метода Гауса. Утворюємо нулі вище головної діагоналі.

Крок 6.

Віднімаємо від другого рядка третій, помножений на  Віднімаємо від першого рядка третій, помножений на :

Крок 7.

Віднімаємо від першого рядка другий, помножений на :

Запишемо систему рівнянь по останній розширеній матриці:

Змінні x₁, x₂, x₃ залишемо в лівій частині рівняння, а х₄ перенесимо вправо. Остаточний вигляд системи буде такий:

де х₄ – вільна змінна.

Дана система рівнянь має безліч розв’язків.

Приклад 2. Розв’яжемо СЛАР методом Гауса в MS Excel:

Цей метод розв'язання систем лінійних рівнянь придатний для розв'язання систем з будь-яким числом рівнянь і невідомих.

Запишемо нашу СЛАР в матричній формі:

Отже маємо:

Помічений елемент матриці , оскільки він не дорівнює нулю отже виключаємо змінну  і утворюємо нулі нижче , отримуємо наступну матрицю:

Якщо ж , то потрібно переставляти рядки. Вибираємо перший ненульовий елемент в стовпчику, що знаходиться нижче від розв’язувального елемента і переставляємо цей рядок на рядок з нульовим елементом

Аналогічно продовжуємо до отримання розв’язку СЛАР. В результаті отримаємо наступну табличку:

Отже в результаті отримали:

, де  - небазисні змінні.

Загальний розв’язок системи буде мати наступний вигляд:

, де  - довільні.

Приклад 3. Розв’язання СЛАР з вибором головного елемента в MS Excel:

Суть даного методу полягає в тому, що на кожному кроці обирається напрямний рядок з максимальним абсолютним значенням розв’язувального елемента. Його перевагами у порівнянні з методом Гауса є те, що в результаті отримаємо меншу накопичену похибку за рахунок ділення напрямних рядків на більші елементи, але для погано обумовлених СЛАР похибка як і в методі Гауса може бути суттєвою.

Знаходження розв’язку за допомогою методу головного елемента описується наступним чином:

Загальний розв’язок системи має вигляд:

, де  - довільні.

Відповіді отриманні при розв’язуванні ідентичні, але кількість кроків виконаних, при реалізації метода головного елемента, дещо більша ніж в методі Гауса.