Обчислення рангу матриці

2.2 Обчислення рангу матриці

Приклад 4. Знайти ранг матриці:

Розв’язання. Перший рядок залишаємо без змін. Щоб уникнути появи дробів, помножимо другу, третю та четверту рядки на 2:

Перший рядок помножимо на  і додамо до другого. Отримаємо рядок . Перший рядок помножимо на  і додамо до третього. Отримаємо рядок . Перший рядок помножимо на  і додамо до четвертого. Отримаємо рядок . У результаті маємо матрицю:

Другу рядок залишаємо без змін. На третьому рядку додаємо другий, помножений на 2. Отримаємо рядок . До четвертого рядка додаємо другий. Отримаємо нульовий рядок. Перетворена матриця має вигляд:

Поміняємо місцями третій і четвертий стовпчики:

Базисний мінор матриці  стоїть у перших трьох стовпцях і перших трьох рядках, . Отже, .

2.3 Опис та інструкція по використанню програми Gauss

Дана програма реалізована в інтегрованому середовищі програмування Visual Studio 2008 SP1 мовою програмування С#. Вона дозволяє розв’язувати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гауса, записаних в матричній формі, а також методом з пошуком головного елемента, при чому матриці можуть будь-якою вимірністю mxn (m і n – кількість стовпчиків та рядків матриці відповідно). Також ще однією з можливостей програми є обчислення рангу матриці.

Інтерфейс програми має наступний вигляд:

Мал. 1 Інтерфейс програми

Почати роботу з програмою користувач може двома способами:

·        Вибрати запропоновані варіанти завдань

Мал. 2 Варіанти завдань

·        Ввести вимірність матриці mxn у відповідних полях програми і натиснути кнопку «Застосувати»

Мал. 3 Поле матриці mxn

Зауваження 1. Якщо ми маємо систему з чотирма рівняннями і чотирма невідомими, тобто матрицю А 4х4, то при введені даних в полях розмірності матриці, вважаємо, що B – це ще один стовпчик матриці А, яке це зображено на малюнку. 3.

Далі робота з програмою проходить наступним чином:

·        В залежності від того яким методом ми хочемо розв’язати рівняння, натискаємо на кнопку «Метод Гауса», «метод головного елемента», що зображені на малюнку 4.

Мал. 4. Функціональні кнопки пошуку розв’язку

·        Після натиснення на відповідну кнопку у вікну програми ми отримаємо загальний розв’язок системи, а також ранг матриці, що розглядаємо (малюнок 5)

·        Далі у користувача буде декілька варіантів продовження роботи:

-    Завершення роботи програми. Файл à Вихід, або закривши вікно програми, натиснувши на «хрестик».

-    Збереження результатів програми у файл з послідовним описом кожного виконаного кроку (виключення змінної з розгляду та утворення нулів нижче-вище розв’язувального елемента; переставлення рядків)

-    Знаходження розв’язку СЛАР при введених нових даних.

Мал. 5 Вікно програми після обчислень

Зауваження 2. Якщо вибране нами СЛАР розв’язку немає, то на екрані з’явиться повідомлення, в якому буде сказано, що методом Гауса розв’язку ми отримати не зможемо, а також буде вказано, який саме ранг буде мати дана матриця (малюнок 6).

Мал. 6 СЛАР розв’язків немає.

Перевіримо коректність роботи програмі на прикладі 6. (пункт 3.1)

Отримаємо розв’язок СЛАР, а також ранг матриці (малюнок 7)

Мал. 7. Обчислення прикладу 6.

Збережемо детальний опис всіх кроків і відповідь у файл Excel з назвою Gauss.xls (малюнок 8). Якщо ж ми хочемо зберегти дані в блокноті, то тоді потрібно змінити розширення файлу на *.txt.

Мал. 8. Збереження результату.

Порівнявши дані результати з розв’язками, які ми отримали, при розв’язанні СЛАР за допомогою MS Excel, можемо стверджувати, що рівняння розв’язано правильно, оскільки відповіді ідентичні.

Опис основних функцій програми

Весь код програми знаходиться в додатках.

Розглянемо основні функції, які були задіяні при написанні програми:

Ø  public void Gauss()- функція, яка безпосередньо відповідає за метод Гауса.

Ø  public void Gauss2()- функція, яка відповідає за розв’язання методом головного елемента.

Ø  public int Rang2()-функція знаходження рангу матриці.

Ø  private void Flush(int i, int j)- функція, яка дозволяє переставляти рядки матриці.

Ø  private int FindToFlush()- функція пошуку рядка, необхідного для переставлення по методу Гауса.

Ø  private int FindToFlush2()- функцію пошуку рядка, необхідного для переставлення по методу головного елемента.

Ø  private void ForwDirection(int i, int j)- функція, яка описує прямий хід методу Гауса.

Ø  private void BackDirection(int i, int j) – обернений хід методу Гауса.

Ø  private void MakeNull(int i)

private void MakeNullD- утворення нулів нижче розв’язувального елемента в прямому ході Гауса і утворення нулів вище розв’язувального елемента в обереному ході методу.

Список використаних джерел та літератури

1.    Тарасов В.Н., Бахарева Н.Ф. Численные методы. Теория, алгоритмы, программы. – Оренбург: ИПК ОГУ, 2003.

2.    Курош А.Г., “ Курс высшей алгебры ”, изд. 10, «Наука», Москва, 1971 г.

3.    Овчинников П.Ф., Яремчук Ф.П., Михайленко В.М.. Высшая математика – К.: Вища шк. Главное изд., 1987 г.

4.    Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах.- М.: Наука

5.    Г.Н.Воробьева, А.Н. Данилова. Практикум по вычислительной математике – Москва «Высшая школа», 1990.

6.    Л.И.Турчак. Основы численных методов – Москва «Наука», 1987.

7.    Фельдман Л.П., Петренко А.І., Дмитрієва О.А. Чисельні методи в інформатиці – Київ «Питер», 2006.