Формализация – перевод предложенной задачи (ситуации) на язык математической теории (построение математической модели задачи)

1. Формализация – перевод предложенной задачи (ситуации) на язык математической теории (построение математической модели задачи).

2. Решение задачи в рамках математической теории (говорят: решение внутри модели).

3.Перевод результата математического решения задачи на тот язык, на котором была сформулирована исходная задача (интерпретация решения).

Чаще всего математическая модель представляет собой несколько упрощенную схему (описание) оригинала, а значит, обладает определенным уровнем погрешности.

Одна и та же модель может описывать различные процессы, объекты, поэтому результаты внутримодельного исследования одного явления зачастую могут быть перенесены на другое. В этом состоит одно из основных достоинств математического моделирования.

Математика не только создала разнообразные внутренние модели алгебры, геометрии, функции комплексного переменного, дифференциальных уравнений и т.д., но и помогла естествознанию построить математические модели механики, электродинамики, термодинамики, химической кинетики, микромира, пространства – времени и тяготения, вероятностей передачи сообщений, управления, логического вывода.

Созданием моделей математика часто опережала потребности естествознания и техники.

Реализация универсального математического метода познания есть основная цель и задача современной математики. Она включает, в первую очередь, построение новых, неведомых математических моделей, в частности в биологии, для познания жизни и деятельности мозга, микромира, новых, фантастических технологий и техники, а также познание экономических и социальных явлений также с помощью математических моделей различными математическими методами. [Приложение 1]

Любая математическая задача состоит из условия (утверждения), вопроса или требования. Причем, в задаче обычно не одно, а несколько элементарных условий. Они представляют собой количественные или качественные характеристики объектов задачи и отношения между ними.

Требований в заданиях тоже может быть несколько. Они могут быть сформулированы, как в вопросительной, так и в утвердительной форме. Условия и требования взаимосвязаны. Систему взаимосвязанных условий и требований называют высказывательной моделью (словесной).

Глубина и значимость открытий, которые делает школьник, решая задачи, определяется характером осуществляемой им деятельности и мерой ее усвоения, тем, какими средствами этой деятельности он овладеет. Для того чтобы ученик мог выделить и освоить способ решения широкого класса задач, а не ограничивался нахождением ответа в данной, конкретной задаче, он должен овладеть некоторыми теоретическими знаниями о задаче, прежде всего, о ее структуре.

Чтобы структура задачи стала предметом анализа и изучения, необходимо отделить ее от всего несущественного и представить в таком виде, который обеспечивал бы необходимые действия. Сделать это можно путем особых знаково-символических средств – моделей, однозначно отображающих структуру задачи и достаточно простых для восприятия школьниками.

В структуре любой задачи выделяют:

1. Предметную область, то есть объекты, о которых идет речь в задаче.

2. Отношения, которые связывают объекты предметной области.

3. Требования задачи.

Структуру задачи принято делить на схематизированные и знаковые модели.

В свою очередь, схематизированные модели бывают вещественными (они обеспечивают физическое действие с предметами) и графическими (они обеспечивают графическое действие).

Графические модели используются для обобщенного, схематического воссоздания задачи. К ним относят:

·                 рисунки;

·                 схематический рисунок;

·                 чертеж;

·                 схематический чертеж.

Знаковые модели могут быть выполнены как на естественном (т.е. имеет словесную форму), так и на математическом (т.е. используются символы) языке.

На естественном языке можно отнести:

- краткую запись;

- таблицы.

На математическом языке:

- выражение;

- уравнение;

- по действиям;

- система уравнений.

Схематизированные, графические и знаковые модели, выполненные на естественном языке – вспомогательные модели, а знаковые модели, выполненные на математическом языке – решающие.

Уровень овладения моделированием определяет успех решающего. Поэтому обучение моделированию занимает особое и главное место в формировании умения решать задачи.

Полезно применять чертежи и схематические рисунки, блок – схемы, моделирование с помощью отрезков и таблиц.

Графические модели и таблицы позволяют сравнивать пары понятий: левая – правая, верхняя – нижняя, увязывать пространственную информацию с информацией меры, тем самым, формируя умение решать задачи.

Итак, модель нужна для того, чтобы понять, как устроен конкретный объект, какова его структура, основные свойства, законы развития; научиться управлять объектом или процессом, определять наилучшие способы управления при заданных целях и критериях.

Моделирование в решении текстовых задач

Обучение с применением моделирования повышает активность мыслительной деятельности учащихся, помогает понять задачу, самостоятельно найти рациональный путь решения, установить нужный способ проверки, определить условия, при которых задача имеет или не имеет решение. Модель дает возможность более полно увидеть зависимость между данными и искомыми в задаче, представить задачу в целом, помогает обобщить теоретические знания. Постановка учебной задачи составляет мотивационно–ориентировочное звено – первое звено учебной деятельности. Вторым (центральным) звеном учебной деятельности является исполнительское, то есть следующие учебные действия для решения учебной задачи:

1)преобразование условий предметной задачи с целью выявления в ней основного отношения;

2)моделирование выделенного в ней отношения в предметной, графической или буквенной форме;

3)преобразование модели отношения для изучения его свойств;

4)построение системы частных задач, решаемых общим способом.

Чтобы научить школьников самостоятельно и творчески учиться, нужно включать их в специально организованную деятельность, сделать хозяевами этой деятельности. Одним из способов включения учащихся в активную деятельность в процессе решения задач и является моделирование.

Умение решать задачи – один из основных показателей уровня математического развития, глубины усвоения учебного материала.

Действующая программа обучения математике требует развития самостоятельности у учащихся в решении текстовых задач. Еще в начальной школе каждый должен уметь кратко записывать условие задачи, иллюстрируя ее с помощью рисунка, схемы или чертежа, обосновывать каждый шаг в анализе задачи и в ее решении, проверить правильность ее решения. Однако на практике требования программы выполняются далеко не полностью, что приводит к серьезным проблемам в знаниях и навыках учащихся.

Одна из основных причин допускаемых ошибок решении текстовых задач – неправильная организация первичного восприятия учащимися условия задачи и ее анализа, которые проводятся без должной опоры на жизненную ситуацию, отраженную в задаче, без ее графического моделирования.

В 5 классе, как правило, в процессе анализа используются разные виды краткой записи или готовые схемы, а создание модели задачи на глазах учеников или самими учащимися в процессе решения задач используется крайне редко. Учителя при фронтальном анализе и решении задачи нередко ограничиваются правильными ответами двух-трех учеников, а остальные записывают за ними готовые решения без глубокого их понимания.

Для устранения отмеченных недостатков следует, прежде всего, решительно улучшить методику организации первичного восприятия и анализа задачи, чтобы обеспечить осознанный и доказательный выбор арифметического действия всеми учащимися.

Главное для каждого ученика на этом этапе – понять задачу, то есть уяснить, о чем эта задача, что в ней известно, что нужно узнать, как связаны между собой данные, каковы отношения между данными и искомыми и т.п. Для этого, где возможно, следует применять метод моделирования ситуации, отраженной в задаче.

Используемый в науке метод моделирования заключается в том, что для исследования какого-либо явления или объекта выбирают или строят другой объект, в каком-то отношении подобный исследуемому; построенный или выбранный объект изучают и с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результат решения этих задач переносят на первоначальное явление или объект.

В 5 классе, анализируя задачу № 1:

«В школьном математическом кружке занимаются 18 учеников. В танцевальном кружке на 12 человек больше, чем в математическом, а в спортивном на 5 учеников меньше, чем в танцевальном. Сколько учеников в спортивном кружке», обычно записывают ее кратко примерно так:

в математическом кружке – 18 учеников;

в танцевальном кружке - ?, на 12 учеников больше, чем в математическом;

в спортивном кружке - ?, на 5 учеников меньше, чем в танцевальном.

Такая запись при первичном анализе задачи нерациональная, так как не раскрывает наглядно взаимодействия между данными и искомыми, не помогает в выборе действия.

Учащимся предлагается смоделировать условие задачи следующим образом:

в математическом кружке –

в танцевальном кружке –

в спортивном кружке –

Эта модель дает наглядное представление об отношениях между данными и искомыми в задачах.

Анализируя задачу, учащиеся выясняют, что в танцевальном кружке учеников на 12 больше, чем в математическом, то есть их столько же плюс еще 12; поэтому отрезок на схеме, изображающий число учеников в танцевальном кружке, они начертят большей длины, чем отрезок, изображающий число учеников в математическом кружке. А так как число учеников в спортивном кружке на 5 меньше, чем в танцевальном, то есть их столько же, но без пяти, то и отрезок, показывающий число учеников в спортивном кружке должен быть меньше отрезка, показывающего число учеников в танцевальном кружке.

Анализируя эту схему, учащиеся самостоятельно записывают правильное решение.

Внимательно рассматривая модель, можно предложить ученикам найти другой способ решения задачи. Исходя из графической схемы задачи, учащиеся выясняют, что в спортивном кружке учеников больше, чем в математическом; определяют, на сколько больше (12-5=7(уч.)), а затем отвечают на поставленный вопрос (18+7=25(уч.)). Этот способ может служить проверкой ранее рассмотренного способа решения.

Рассмотрим, как можно смоделировать задачу № 2:

«В три магазина привезли 3840 кг масла. После того, как первый магазин продал 568 кг, второй – 642 кг и третий – 401 кг, масла осталось во всех магазинах поровну. Сколько кг масла получил каждый магазин?»

В процессе разбора этой задачи с учащимися, получаем примерно такие вспомогательные модели:

Продали 401 кг

Продали 568 кг

Продали 642 кг

 

Осталось? Осталось? Осталось?

3840 кг

Получил: Осталось:  Продали:

?

1-й магазин?

568 кг

?

2-й магазин?

642 кг

 ?

3-й магазин?

	401 кг

Такая модель помогает уяснить одно из важных условий задачи, которое вызвало наибольшее затруднение в решении, а именно: после того, как в каждом магазине продали часть завезенного масла, в каждом из них осталось поровну.

Модель создает предпосылки активной мыслительной деятельности в поисках разных способов решения одной и той же задачи.

Посмотрим еще одну задачу и модель к ней.

Задача 3:

«Три группы учащихся очищали каток от снега. Первая группа очистила 7/12, а вторая 2/3 того, что осталось, а третья оставшиеся 250 м². Вычислите площадь катка».

По предложению учеников каток изобразим в виде прямоугольника. Рассуждаем, какие размеры прямоугольника лучше взять для изображения катка. Сделаем вывод, что длину удобнее взять равной, например 12 см (число, кратное 12), а его ширину, например 6 см (число, кратное 3), на схематическом чертеже отметим данные и установим, что будем определять. Получится такая схема:

1-я группа 2-я группа

7/12	2/3 3-я группа
	250 м2

Схема помогает ученикам самостоятельно найти правильные решения данной задачи.

«Иногда в 5 классе задачу не проверяют или понимают под проверкой, например, прочтение решения задачи для всего класса или сверку на доске. Модель не только поможет найти рациональный способ решения задачи, но и поможет проверить его правильность.»[4, 83]

Условие задачи с пропорциональными величинами обычно кратко записывают в таблицу. Например, следующим образом.

Задача 4: «В трех одинаковых ящиках 21 кг апельсинов. Сколько килограммов апельсинов в 8 таких ящиках?»

Масса апельсинов в одном (каждом) ящике. одинаковая

Количество ящиков. 3 8

Общая масса. 21 кг ? кг

Таблица – это тоже модель задачи, но более абстрактная, чем схематический рисунок или чертеж. Она предполагает уже хорошее знание учащимися взаимозависимостей пропорциональных величин, так как сама таблица этих взаимозависимостей не показывает. Поэтому при первичном знакомстве с такой задачей таблица мало помогает представить математическую ситуацию и выбрать нужное действие.

При первичном знакомстве с таким видом задач целесообразно смоделировать условие в виде схематического рисунка или чертежа.

									Масса апельсинов в одном ящике

21 кг

? ?

По такой модели решение задачи становится более понятным для всех учащихся.

Рассмотрим задачу 5:

«С первой яблони собрали 3 одинаковые корзины яблок, а со второй – 5 таких же корзин, причем со второй яблони собрали на 40 кг яблок больше, чем с первой. Сколько килограммов яблок собрали с каждой яблони?»