Мультикольцо

3 Мультикольцо

Согласно [2] алгебра  сигнатуры  называется мультикольцом,если алгебра -группа(не обязательно абелева).Все операции из  имеют ненулевые арности и для любой -арной операции  и любых элементов  имеет место =,для любого . Заметим,что мультикольцо является дистрибутивной -группой в смысле определения Хиггинса [10] или мультиоператорной группой согласно А.Г.Куроша [9]. Для мультиколец справедливы следующие равенства:

где ,как обычно, обозначается элемент,противоположный к элементу .

Докажем,например,первое равенство.

Прибавляя к обеим частям равенства элемент,противоположный к элементу

получаем требуемое равенство.

Определение. Подалгебра  мультикольца  называется идеалом [9],если -нормальная подгруппа группы  и для любой -арной операции , произвольного  и любых , имеет место

В частности,если -нульарная или унарная операция,то это означает,что

Как следует из примера [8] конгруэнции на мультикольце перестановочны. Следующая теорема устанавливает соответствие между идеалами и конгруэнциями мультикольца.

Теорема 3.1 [2] Пусть -идеал мультикольца  и

Тогда -конгуэнция на  и любая конгруэнция на  имеет такой вид для подходящего идеала .

Доказательство.

Так как

то . Покажем,что -подалгебра алгебры .Проверим вначале замкнутость  относительно групповых операций. Пусть , т.е. . Тогда в силу того,что ,получаем

т.е.

т.е.. Пусть теперь -n-арная операция и , Так как -идеал,то получаем

т.е. . Теперь из леммы [8] следует,что -конгруэнция на . Обратно,пусть -конгруэнция на . Положим

Из [8] следует,что -нормальная подгруппа группы . Аналогичным образом,как и в [8],показывается,что -идеал мультикольца . Теорема доказана.

Следствие 3.2. Решетка идеалов мультикольца  изоморфна решетке его конгруэнций.

Определение 3.3 [3].Пусть -идеал мультикольца .Тогда централизатором  в  называется наибольший идеал  в  такой,что для любого  и любого  выполняются следующие условия:

1) ;

2) для любой -арной операции  ,любых различных ,произвольных  справедливо

 

Теорема 3.4. Пусть  и -идеалы мультикольца  и . Тогда  и  индуцируют на  соответственно конгруэнции  и , где

тогда

 

Доказательство :

Определим бинарное отношение  на  следующим образом  тогда и только тогда, когда найдутся такие элементы  и ,что справедливы равенства

Очевидно,что -отношенме эквивалентности на , удовлетворяющее условиям 1)-3) определения 2.1.,замкнутость которого относительно групповых операций доказана в примере [8]

Пусть теперь --арная операция и  Тогда

 и

для любых  Следовательно,

Подставляя в правую часть последнего равенства значения  и учитывая,что после раскрытия скобок члены,одновременно содержащие элементы  и ,равны нулю , получаем в правой части равенства выражение

Так как -идеал,то

Итак,

тогда .

Теорема 3.5 Пусть  и -идеалы мультикольца , , -конгруэнции,определенные в теореме 3.4. и  .Тогда .

Доказательство : Пусть -конгруэнции мультикольца  и . Обозначим смежные классы по  и ,являющиеся идеалами мультикольца, соответственно  и . Возьмем произвольные элементы , , . Тогда

Следовательно,для любой -арной операции , любых различных  получаем

Из определения 2.1. следует,что

Очевидно,что справедливо и другое аналогичное равенство определения [8] Т.к. из примера [8] следует,что ,то это означает, что .

Очевидно,что из теорем 3.4. и 3.5. и результатов раздела 2 следуют все известные свойства централизаторов подгрупп,а так же свойства централизаторов идеалов мультиколец работы [3](Лемма 2.8).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей дипломной работе решается задача взаимосвязи структуры мультиколец и универсальных алгебр, получен новый результат: идеал  тогда и только тогда централизуется идеалом , когда соответствующие этим идеалам конгруэнции централизуют друг друга в смысле Смита.

Результаты данной дипломной работы могут быть использованы при чтении спецкурса для студентов математического факультета,а так же аспирантами и научными сотрудниками,занимающимися проблемами современной алгебры.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Кон П.М. Универсальная алгебра. - М.: Мир, 1968. - 351 с.

2. Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. - М.Наука, 1983. - 272 с.

3. Шеметков Л.А., Скиба А.Н. Формации алгебраических систем. - М.: Наука, 1989. - 256 с.

4. Ходалевич А.Д. Универсальные алгебры с -централизаторными рядами конгруэнций // Весцi Акадэмii навук Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. - 1994. - № 1. - с. 30--34.

5. Smith D.H. Mal'cev varieties // Lect. Notes Math. - 1976. - V. 554. - 158 p.

6. Ходалевич А.Д. Формационные свойства нильпотентных алгебр // Вопросы алгебры. - Гомель: Изд-во Гомельского ун-та, 1992. - Вып. 7. - с.76--85.

7. Ходалевич А.Д. Класс нильпотентных универсальных алгебр / Ред. ж. Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат.н. - Минск, 1991. - 19 с. - Деп. в ВИНИТИ 10.02.91: 4555 - В91.

8. Ходалевич А.Д. Прикладная алгебра //Спецкурс.-Гомель:Изд-во Гомельского ун-та,2002.-с.30

9. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре.- М.:Наука,1973.-339с.

10. Higgins P.J. Groups with multiple operators //Proc. London math.Soc.-1956.-V.6,--№3.-p. 366--416.

Отзыв

на дипломную работу

``Свойства централизаторов конгруэнций универсальных алгебр''

студентки 5 курса математического

факультета Шутовой И.Н.

Дипломная работа Шутовой И.Н. посвящена решению задачи изучения формационных свойств подалгебр универсальных алгебр.В отличии от теории многообразий, где основным методом изучения является понятие тождеств, в теории формаций одним из основных является понятие централизуемости. Это связано с определением локальных формаций.

В дипломной работе ''Свойства централизаторов конгруэнций универсальных алгебр'' решена задача взаимосвязи структуры мультиколец и универсальных алгебр, получен новый результат: идеал  тогда и только тогда централизуется с идеалом , когда соответствующие этим идеалам конгруэнции централизуют друг друга в смысле Смита.

В процессе работы над дипломной работой студентка Шутова И.Н. проявила способность к самостоятельным исследованиям, умение работать с научной литературой.

Считаю, что дипломная работа студентки Шутовой И.Н. удовлетворяет необходимым требованиям, предъявляемым к дипломным работам, и заслуживает оценки "отлично", а студентка Шутова И.Н. заслуживает присвоения ей квалификации "Математик. Преподаватель математики."

Научный руководитель,

к.ф.-м.н., доцент А.Д.Ходалевич

Рецензия

на дипломную работу

``Свойства централизаторов конгруэнций универсальных алгебр''

студентки 5 курса математического

факультета Шутовой И.Н.

Теория универсальных алгебр вплоть до 70-х годов развивалась исключительно в рамках теории многообразий. Появление в свет книги Л.А.Шеметкова и А.Н.Скибы ''Формации алгебраических систем'' указало на новые возможности в исследовании универсальных алгебр. Особую значимость в указанной теории играет понятие локальных формаций, в основе которых лежит понятие централизуемости.

В рецензируемой дипломной работе решается проблема адаптирования понятия ''централизуемость идеалов мультиколец'' работы [3] с работой Смита [5] и получен новый результат: идеал  тогда и только тогда централизуется с идеалом , когда соответствующие этим идеалам конгруэнции централизуют друг друга в смысле Смита.

Дипломная работа аккуратно оформлена. Полученные здесь результаты являются новыми и представляют научный интерес.

Считаю, что дипломная работа студентки Шутовой И.Н. удовлетворяет необходимым требованиям, предъявляемым к дипломным работам, и заслуживает оценки ``отлично''.

Рецензент

к.ф.-м.н.,доцент Харламова В.И.