Алгебраические группы матриц

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины"

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

 

 

 

 

Курсовая работа

 

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ МАТРИЦ

Исполнитель:

студентка группы H.01.01.01 М-42

Мариненко В.В.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Скиба С.В.

Гомель 2003

Содержание

Введение

1. Алгебраические группы матриц

1.1 Примеры алгебраических групп матриц

1.2 О полугруппах

1.3 Компоненты алгебраической группы

1.4 О -группах

2 Ранг матрицы

2.1 Возвращение к уравнениям

2.2 Ранг матрицы

2.3 Критерий совместности

3 Линейные отображения. Действия с матрицами

3.1 Матрицы и отображения

3.2 Произведение матриц

3.3 Квадратные матрицы

Заключение

Список использованных источников

Введение

Множество  матриц -ой степени над  будем рассматривать как аффинное пространство  с имеющейся на ней полиномиальной топологией. Алгебраические группы матриц определяются как невырожденные части алгебраических множеств из , являющиеся группами относительно обычного матричного умножения. Простейший пример такой группы - общая линейная группа . В настоящем параграфе мы начнем систематическое изучение алгебраических матричных групп.

Все топологические понятия относятся к полиномиальной топологии; черта обозначает замыкание в , диез - замыкание в , бемоль - взятие невырожденной части, т. е.  - совокупность всех невырожденных матриц из . Иногда, допуская вольность, мы употребляем для групп те же понятия, что и для подлежащих алгебраических множеств, - например, говорим об общих точках групп; это не должно вызывать недоразумений.

1. Алгебраические группы матриц

  1.1 Примеры алгебраических групп матриц

Классические матричные группы - общая, специальная, симплектическая и ортогональная:

где

 - единичная матрица и штрих обозначает транспонирование.

Диагональная группа , группы клеточно-диагональных матриц данного вида. Треугольная группа  (для определенности --- с нижним нулевым углом), унитреугольная группа  (треугольные матрицы с единичной диагональю), группы клеточно-треугольных матриц данного вида.

Централизатор произвольного множества из  в алгебраической группе , нормализатор замкнутого множества из  в .

Пересечение всех алгебраических групп, содержащих данное множество матриц  из  --- алгебраическая группа. Она обозначается  и называется алгебраической группой, порожденной множеством .

Каждую алгебраическую линейную группу из  можно изоморфно --- в смысле умножения и полиномиальной топологии --- отождествить с замкнутой подгруппой из  в силу формулы

Такое отождествление позволяет при желании ограничиться рассмотрением только таких групп матриц, которые сами являются алгебраическими множествами (а не их невырожденными частями). Это дает другое оправдание тем вольностям в терминологии, которые упоминались в начале параграфа.

Множество всех матриц из , оставляющих инвариантной заданную невырожденную билинейную форму  на .

Пусть  --- алгебра над  конечной размерности  (безразлично, ассоциативная или нет),  --- группа всех ее автоморфизмов. Фиксируя в  какую-нибудь базу  и сопоставляя автоморфизмам алгебры  их матрицы в этой базе, мы получим на  строение алгебраической группы. Действительно, пусть

т. е.  --- структурные константы алгебры . Пусть далее

где . Тогда  задается в матричных координатах  очевидными полиномиальными уравнениями, вытекающими из соотношений

Указать в приведенных выше примерах определяющие уравнения, найти общую точку, если она есть.

В дальнейшем нам встретится еще много примеров и конструкций алгебраических матричных групп.

 

1.1.1 Если матричная группа  содержит алгебраическую подгруппу  конечного индекса, то  сама алгебраическая.

Доказательство. Пусть  - аннулятор группы  в ,  - его корень в . Надо показать, что . Пусть, напротив, . Пусть  - смежные классы  по . Для каждого  выберем многочлен

и положим

Очевидно, , . Получили противоречие.

Пусть  --- алгебраическая группа, ,  --- подмножество и замкнутое подмножество из . Тогда множества

где , замкнуты. Если  тоже замкнуто и  --- общее поле квазиопределения для , , , то , ,  квазиопределены над . В частности, если существует хотя бы одно  с условием  (соответственно, , ), то можно считать, что  (см. 7.1.5).

Если на множестве  выполняется теоретико-групповое тождество , то оно выполняется и на его замыкании . В частности, коммутативность, разрешимость, нильпотентность матричной группы сохраняются на ее замыкании в полиномиальной топологии.

1.2 О полугруппах

Определим действие элементов из  на рациональные функции из , , полагая

Для каждого  отображение  (сдвиг аргумента) есть автоморфизм поля . Отображение  есть изоморфизм полной линейной группы  в группу автоморфизмов расширения .

Имеет место следующее предложение.

 

1.2.1 Все замкнутые (в полиномиальной топологии) полугруппы из  являются группами. Более общно: замыкание  произвольной полугруппы  --- группа. Более точно: если  --- аннулятор  в , то  совпадает с

Здесь вместо  можно написать .

Доказательство. Во-первых,  и, значит, . Действительно, если ,  и , то , т. е. . Подпространство  многочленов из  степени  отображается оператором  на себя, так как оно конечномерно, а опрератор обратим. Но тогда и всё  отображается на себя, как объединение всех .

Во-вторых, , т. е.  для каждого . Действительно, пусть . По уже доказанному, . Найдём  с условием . Тогда .

В-третьих, , т. е.  для всех , . Действительно, . Предложение доказано.

Таким образом, теория алгебраических полугрупп из  исчерпывается теорией алгебраических групп.

Отметим ещё одно полезное предложение.

 

1.2.2 Пусть алгебраическая группа  неприводима, т. е.  --- многообразие,  --- густое подмножество, плотное в . Тогда каждый элемент  является произведением двух элементов из ; в частности, если  --- подгруппа, то она совпадает с .

Доказательство. Множества  и  тоже густые и плотные, поэтому пересечение  непусто (см. п. 8.2).

Если  --- полугруппа из , то .

1.3 Компоненты алгебраической группы

Пусть  --- алгебраическая группа матриц. Невырожденные части компонент её подлежащего многообразия  называеются компонентами группы . наличие в  групповой структуры позволяет высказать о компонентах ряд важных утверждений, отсутствующих в случае произвольного многообразия.

1.3.1 Теорема. Пусть  --- алгебраическая группа матриц. Её компонента , содержащая единицу, единственна и является нормальной подгруппой. Остальные компоненты --- смежные классы  по  (в частности, они являются связными компонентами группы  в полиномиальной топологии).  --- единственная связная замкнутая подгруппа конечного индекса в . Аннулятор  компоненты  связан с аннулятором  всей группы  следующим образом:

 для некоторого , зависящего от  

, где  --- аннулятор единицы в ,  --- некоторый многочлен из .

Доказательство. а) Пусть  --- общее поле определения всех компонент  группы . Пусть ,  содержат единицу , ,  --- их независимые общие точки над  и , . Имеем специализации

над , откуда , , . Этим доказана единственность компоненты .

б) Очевидно, что отображения

являются гомеоморфизмами пространства . Так как  инвариантна относительно них, то  --- нормальная подгруппа группы .

в) Пусть . Тогда  при фиксированном  --- снова все компоненты группы . В частности, , . Этим доказано, что  --- смежные классы  по  и, значит, связные компоненты группы .

г) Если  --- связная замкнутая подгруппа группы , то, предыдущему, . Если, кроме того,  конечного индекса, то она той же размерности, что и , потому совпадает с .

д) Для каждого  возьмем многочлен

Пусть  --- точка из , в которой . Рассмотрим многочлен

Он искомый. В самом деле, очевидно, . Оба включения справа налево очевидны (использовать простоту идеала ). Остается доказать включение

Пусть , . Имеем:

Если , то , если же , , то . В любом случае . Следовательно, . Теорема доказана.

Мы видим, в частности, что для алгебраической группы неприводимость и связность в полиномиальной топологии --- одно и то же; в дальнейшем мы будем пользоваться только вторым термином, чтобы избежать путаницы с понятием матричной приводимости групп (к полураспавшейся форме).

Доказать, что связанная компонента единицы алгебраической группы содержится в любой замкнутой подгруппе конечного индекса.

Подгруппа  алгебраической группы  тогда и только тогда замкнута, когда замкнуто её пересечение со связной компонентой единицы .

<<Только тогда>> очевидно. <<Тогда>> вытекает из 9.1.9, если заметить, что

Конечная нормальная подгруппа  связной алгебраической группы  всегда лежит в центре .

В заключение отметим, что если в качестве универсальной области выбрано поле комплексных чисел , то в алгебраической группе можно рассматривать две топологии --- полиномиальную и евклидову. Ясно, что вторая тоньше первой, поэтому, в частности, евклидова связная компонента единицы содержится в полиномиальной связной компоненте. Можно было бы доказать и обратное, т. е. на самом деле связные компоненты комплексной алгебраической группы в обеих топологиях одни и те же. Этот результат становится неверным, если рассматривать -порцию комплексной алгебраической группы (по поводу определения см. следующий пункт).

1.4. О -группах

Пусть  - поле. По определению, алгебраическая -группа --- это группа матриц из , выделяемая полиномиальными уравнениями с коэффициентами в . Иначе можно сказать, что это -порция, т. е. пересечение с , некоторой алгебраической группы, квазиопределенной над . Обычные алгебраические группы тоже можно трактовать как -группы по отношению к некоторой большей универсальной области . В этом смысле понятие алгебраической -группы является более общим, так как от  не требуется ни алгебраической замкнутости, ни бесконечной степени трансцендентности над простым полем.

В свойствах алгебраических групп и -групп много общего. Имеется сандартный способ перехода от первых ко вторым --- посредством поля определения (в чём и состоит основное значение этого понятия). Нам не раз представится возможность продемонстрировать этот способ. В целом же -группы в нашем изложении останутся на заднем плане, лишь иногда выходя на авансцену.

Многие результаты о -группах по формулировке и доказательству вполне аналогичны результатам об абсолютных алгебраических группах (в ) и опираются на сведения из алгебраической геометрии для -множеств, (по определению, алгебраическое -множество выделяется в  уравнениями с коэффициентами из ).