Случайные процессы

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

 

Оглавление

 

Случайная функция, случайный процесс, случайное поле. 2

Функция распределения вероятностей случайного процесса. 3

Плотность распределения вероятностей случайного процесса. 4

Моментные функции случайного процесса. 5

Условные распределения вероятностей. 6

Примеры математических моделей случайных процессов. 7

Стационарные процессы.. 8

Литература. 10

 

Случайная функция, случайный процесс, случайное поле

 

69.1. Случайной функцией  называется случайная величина , зависимая от параметра . Случайные величины  могут быть вещественными, либо комплексными, либо векторными; аргумент  может быть вещественным или векторным. Самый простой пример случайной функции получаем для вещественного параметра  и вещественной случайной величины . При этом  называется случайной функцией одной переменной или случайным процессом. Отметим, что аргумент  случайного процесса не обязательно имеет размерность времени.

Более сложные примеры случайных функций встречаются в задачах физики, океанологии, метеорологии и других областях приложения теории вероятностей. Так, температура воздуха  в точке пространства  и в момент времени  часто рассматривается как случайная величина. Таким образом, температура воздуха  является случайной функцией, зависимой от трех декартовых координат  времени . Случайную функцию, зависимую от нескольких переменных принято называть случайным полем.

 

69.2. Случайный процесс  как функция аргумента  имеет свою область определения , которая может быть отрезком на вещественной оси, положительной полуосью, всей вещественной осью и т. д. Рассмотрим случайный процесс  при фиксированном , тогда  - случайная величина, которая называется сечением случайного процесса в точке .

Пусть выполняется  опытов, в каждом из которых измеряется значение ,  , случайной величины . Тогда результаты измерений – это  чисел

. (69.1)

 В отличие от случайной величины  измерение случайного процесса  выполняется в течение некоторого интервала  -интервала наблюдения. Последний либо содержится в области определения , либо совпадает с ней. Пусть детерминированная функция , , - результат измерения случайного процесса в первом опыте, функция , , - результат измерения случайного процесса во втором опыте, и т.д. Тогда результаты всех  опытов, аналогично (69.1), представляются совокупностью  детерминированных функций времени:

(69.2)

Каждая функция  ,  , называется реализацией (траекторией, выборочной функцией, выборкой) случайного процесса . Совокупность (69.2) называется ансамблем реализаций случайного процесса . Ансамбль реализаций содержит информацию о статистических свойствах случайного процесса  аналогично как и совокупность измерений (69.1) содержит информацию о статистических свойствах случайной величины .

 

69.3. В зависимости от того, дискретны или непрерывны время  и реализации , различают четыре типа случайных процессов.

1). Случайный процесс общего типа: время  - непрерывно и реализации - непрерывны.

2). Дискретный случайный процесс: время  - непрерывно и - дискретны.

3). Случайная последовательность:  - дискретно и - непрерывны. В литературе случайные процессы этого типа принято называть временными рядами.

4). Дискретная случайная последовательность:  - дискретно и - дискретны.

Функция распределения вероятностей случайного процесса

 

70.1. При фиксированном  распределение вероятностей сечения  случайного процесса (как распределение вероятностей случайной величины) задается функцией распределения вероятностей

. (70.1)

Соотношение (70.1) можно рассматривать при любом . Функция , как функция двух переменных  и , называется одномерной функцией распределения вероятностей случайного процесса . Аргументы  и  принято называть соответственно фазовой и временной переменными. Однако,  не дает исчерпывающую вероятностную характеристику случайного процесса , поскольку она не учитывает зависимости случайных величин  при разных  (т.е. зависимости разных сечений случайного процесса). Более полно вероятностные свойства случайного процесса  описывает -мерная функция распределения  - функция распределения случайного вектора :

. (70.2)

Однако, практическое применение находят лишь функции распределения первого и второго порядков . Функции более высоких порядков  используются только в теории.

70.2. Основные свойства -мерной функции распределения вероятностей случайного процесса аналогичны свойствам функции распределения вероятностей -мерного вектора.

1) Функция  - неубывающая по каждому аргументу  , .

2) Функция  - непрерывна справа по каждому аргументу  , .

3) Функция распределения симметрична относительно перестановок двух любых пар  и :

 .

4) Для любого целого  ,

.

5) Для любого целого  ,

.

6) .

Плотность распределения вероятностей случайного процесса

 

Если  имеет производную

, (71.1)

тогда эта производная называется -мерной плотностью распределения вероятностей случайного процесса. Основные свойства плотности (71.1) аналогичны свойствам плотности распределения вероятностей -мерного вектора. Рассмотрим основные из них.

1) Функция распределения  определяется через плотность:

. (70.2)

2) Плотность  - неотрицательная функция:

. (70.3)

3) Плотность удовлетворяет условию нормировки:

. (70.4)

4) Выполняется равенство

, (71.5)

называемое свойством согласованности.

5) Плотность – симметричная функция относительно перестановок двух любых пар  и :

 . (71.6)

6) Плотность определяет вероятность попасть значениям случайного

процесса в заданные интервалы:

. (71.7)

Моментные функции случайного процесса

72.1. Пусть  - случайный процесс, имеющий плотность  и  функция  переменных. Вместо аргумента  ,  , функции  подставим . Тогда  - случайная величина, математическое ожидание которой определяется соотношением:

.

 (72.1)

Рассмотрим простейшие примеры функции . 1) Пусть  - функция одной переменной, тогда  и (72.1) принимает вид:

. (72.2)

Функция  называется математическим ожиданием (средним, статистическим средним) случайного процесса . 2) Аналогично выбор приводит к равенству

. (72.3)

Функция  называется корреляционной функцией случайного процесса . 3) Аналогично вводятся дисперсия

(72.4)

и ковариационная функцией случайного процесса

. (72.5)

Получим соотношение, связывающее функции . Из (72.5) следует

 . (72.6)

Здесь использовалось равенство , поскольку  - детерминированная функция и ее можно вынести за оператор математического ожидания. Таким образом, (72.6) принимает вид

. (72.7)