Кривая определяется как линия, получаемая в результате того или иного геометрического преобразования уже известной кривой

6.         Кривая определяется как линия, получаемая в результате того или иного геометрического преобразования уже известной кривой.

Этот способ образования кривых является наиболее эффективным. Он не только даёт неиссякаемые средства для определения новых кривых, но и позволяет определять свойства но вой кривой как отражение свойств преобразуемой кривой.

К числу основных геометрических преобразований относятся аффинное, проективное, инверсия, квадратичное, двойственное, касательное.

7.         Мы заключим обзор различных способов, дающих средства для аналитического определения кривых, ещё одним, естественным по сравнению с предыдущими, в том смысле, что составлять уравнение кривой в том смысле уже не приходится, так как кривая задаётся сразу же в аналитической форме и представляет собой график той или иной функции. Выше было замечено, что метод Декарта, которым определяется соответствие между линией и уравнением, даёт неограниченные возможности для определения кривых самых разнообразных форм. В арсенале замечательных кривых, используемых в науке и технике, имеется немало линий, которые исторически возникли аналитическим путём, т.е. определялись первоначально как кривые, соответствующие определённым уравнениям. к ним относятся декартов лист – график функции, определяемой уравнением . Сюда же относятся параболы и гиперболы всших порядков – графики функций определяемых уравнением , кривые Ламе – графики функций, определяемые уравнением . К аналитически определяеым кривым относятся также кривые, являющиеся графиками тригонометрических функций, показательной функции и многие другие.

  3. Классификация плоских кривых

В этом параграфе рассмотрим классификацию плоских кривых.

Так как характерные особенности формы кривой и её свойства определяются особенностями и свойствами соответствующего ей уравнения, то естественно положить в основу классификации кривых природу их уравнений – подразделение уравнений на алгебраические и трансцндентные. Здесь, однако, возникает затруднение, заключающееся в том, что природа уравнения кривой зависит не только от природы самой кривой, но и от той системы координат, к которой отнесена кривая. Одна и та же кривая в одной системе координат может выражаться алгебраическим уравнением, а в другой – трансцендентным. Более того иногда достаточно изменить положение системы и уравнение кривой, которое было алгебраическим, становится трансцендентным. Так, например, в полярной системе координат уравнение окружности с центром в полюсе имеет вид  и является, как видно, алгебраическим: но достаточно поместить полюс в какую-либо точку , как уравнение принимает вид  и становится, таким образом, трансцендентным.

Указанный недостаток отсутствует, однако, у прямоугольной декартовой системы координат. Параллельное смещение и поворот этой системы не меняют не только природу уравнения этой кривой, но и степень этого уравнения, если оно было алгебраическим. Естественно поэтому подразделить все кривые на алгебраические и трансцендентные соответственно тому, будут ли их уравнения алгебраическими или трансцендентными в прямоугольной системе координат.

а) Алгебраические кривые

Внутри обширного семейства алгебраических линий в свою очередь производят подразделение кривых, в основу которого полагается понятие порядка кривой, определяемого степенью её уравнения.

Соответственно этому алгебраической кривой n-го порядка называется кривая, уравнение которой, после освобождения его от дробей и радикалов, записывается в декартовой системе координатв виде

Очевидно, число членов уравнения равно . Разумеется, в частном случае некоторые коэффициенты могут быть нулями.

Если левая часть уравнения кривой разлагается на множители то такому уравнению будет соответствовать система кривых  В этом случае кривую n-го порядка называют распадающейся или приводимой.

В частности, когда левая часть уравнения кривой, которую мы обозначим через f (x, y), является однородной функцией n-го измерения, кривая вырождается в систему прямых линий. Действительно, по известному свойству однородных функций, мы, полагая , будем иметь , и если a₁, a₂, …,a_n – корни уравнения , то

Приравнивая к нулю каждый множитель, получим систему n прямых (среди которых могут быть и мнимые).

Рассмотрим разновидности алгебраических кривых.

Класс алгебраической кривой. Формулы Плюккера.

Алгебраические кривые классифицируются не только по их порядку, но и по их классу и роду (жанру).

Класс алгебраической кривой определяется степенью её уравнения в тангенциальных координатах – так называются коэффициенты u и v в уравнениях прямых , касающихся данной алгебраической кривой.

класс кривой может быть также определён числом касательных, действительных и мнимых, которые можно провести к этой кривой из произвольной точки, не лежащей на ней.

Для получения тангенциального уравнения кривой и, следовательно, для определения её класса, представим себе, что данная кривая  пересечена прямой . Условие того. что две точки её пересечения с кривой совпадают между собой, записанное в форме равенства, связывающего u и v, и будет искомым тангенциальным уравнением кривой.

Так, например, желая найти тангенциальное уравнение окружности x²+y²=1, пересечём её прямой . Исключая у из уравнения этой прямой и окружности, получим (u²+v²) x²+2ux+(1-v²)=0. Условием касания прямой и окружности будет совпадение корней этого квадратного уравнения, что приводит к равенству v²(1-u²-v²)=0. Подобным же образом получим равенство u²(1-u²-v²)=0. Очевидно, полученные равенства будут удовлетворяться, если 1-u²-v²=0. Это и есть тангенциальное уравнение заданной окружности.

Если, наоборот, необходимо перейти от тангенциального уравнения f (u, v)=0 кривой к её обычному уравнению, то следует присоединить к этому уравнению уравнение  пучка всех касательных к кривой, проходящих через точку М (х, у). Условие того, что эта точка будет точкой касания, выразится равенством, определяющим условие совпадения двух касательных в одну (так как в тангенциальных координатах каждая точка кривой определяется как точка пересечения двух бесконечно близких касательных). Это равенство и будет искомым уравнением кривой в исходной системе.

Так, например, если дана в тангенциальных координатах кривая u+v+uv=0, то, желая иметь её обычное уравнение, рассмотрим пучок прямых , проходящих через произвольную точку М (х, у). Найдём те прямые этого пучка, которые касаются кривой. Исключая u из заданного уравнения кривой и уравнения пучка, получим: v²y+v (1+y-x)+1=0. Для того, чтобы две прямые, определяемые двумя значениями v в этом равенстве, совпали в одну, необходимо, чтобы эти значения v были равны между собой, а последнее произойдёт, если будет справедливым равенство (1+y-x)²-4y=0, которое и представляет собой обычное уравнение заданной кривой.

Порядок и класс линии, вообще говоря не совпадают, за исключением кривых второго порядка, которые одновременно являются кривыми второго класса. В общем случае при определении класса кривой приходится принимать во внимание не только её порядок, но и ряд её характерных особенностей – наличие у неё двойных точек, точек перегиба, двойных касательных и т.д. Именно, если n – порядок кривой, k – класс кривой, d – число двойных точек (узловых и изолированных), r – число точек возврата, t – число двойных касательных (т.е. прямых, касающихся кривой в двух точках), w – число точек перегиба кривой, то между всеми этими величинами существуют следующие соотношения:

 

k=n (n – 1) – 2d – 3r, n=k (k – 1) – 2t – 3w,

w=3n (n – 2) – 6d – 8r, r=3k (k – 2) – 6t – 8w.

Эти равенства называются формулами Плюккера и были приведены им впервые в его «Системе аналитической геометрии на плоскости» в 1834 году.

Род алгебраической кривой.

Известно, что нераспадающаяся кривая n-го порядка может иметь не более чем  двойных точек. Действительно, если бы она имела, например,  двойных точек, то через эти точки и через n – 3 других точек её можно было бы, как легко видеть, провести кривую порядка n – 2. Но так как каждая двойная точка первой кривой должна считаться за две точки пересечения её со второй кривой, то получается, что эти кривые имели бы  общих точек. Последнее, однако, невозможно, так как нераспадающейся кривой будет справедливо и для точек высшей кратности, если точку кратности k считать за  двойных точек. Например, кривая 5-го порядка может иметь семь двойных точек и одну тройную: . Это соглашение оправдывается тем, что через точку кратности k проходит k ветвей этой кривой. Если их представлять себе отделёнными от кратной точки, то, пересекаясь попарно, они дадут  двойных точек, которые, совпадая, и образуют точку кратности k.

Дадим понятие рода кривой. Род, или жанр, алгебраической кривой определяется числом р, являющейся разностью между наибольшим числом двойных точек, которые может иметь кривая этого порядка, и их фактическим числом у данной кривой. С ранее упомянутыми числовыми характеристиками алгебраической кривой эта новая характеристика р связана соотношениями

Если рассматриваемая кривая имеет наибольшее число двойных точек, возможных для кривых её порядка, то, очевидно, это будет кривая нулевого рода. Эти кривые обладают весьма важным свойством, а именно, координаты точки, двигающейся по такой кривой, могут быть выражены рациональными функциями некоторого параметра.

1)      Рациональные кривые

Рациональными являются кривые четвёртого, имеющие три двойные точки. Координаты точки таких кривых являются целыми рациональными функциями 4-й степени от параметра.

Укажем два способа конструктивного образования рациональных кривых 4-го порядка.

С проективной точки зрения рациональная кривая 4-го порядка определяется пересечением прямых, принадлежащих некоторому пучку, с прямыми проективно соответствующего ему пучка касательных к некоторой кривой второго порядка.

Рациональные кривые 4 – го порядка могут быть получены также квадратичным преобразованием кривой второго порядка. Действительно, если рациональную кривую второго порядка отнести к координатному треугольнику, вершины которого совпадают с тремя двойными точками этой кривой, то уравнение её запишется в виде

Пользуясь формулами квадратичного преобразования

,

,

,

получим уравнение

которое выражает кривую 2-го порядка, например окружность, пересекает какую-либо сторону координатного треугольника в двух точках, то соответствующая кривая второго порядка должна иметь, по свойству квадратичного преобразования, в противолежащей вершине этого треугольника две касательные и, значит, узловую точку. Если указанные две точки совпадают в одну, то совпадают в одну и соответствующие им касательные и, значит, узловую точку. Если указанные две точки совпадают в одну, то совпадают в одну и соответствующие им касательные, и следовательно, кривая четвёртого порядка будет иметь в вершине треугольника точку возврата. Если, наконец, точки пересечения кривой второго порядка со стороной треугольника будут мнимыми, то противолежащая вершина треугольника является изолированной точкой кривой четвёртого порядка.

На рисунке 2 все эти случаи предусмотрены, причём соответствующие элементы помечены одинаковыми цифрами.

Рис. 2

Из сказанного следует, что если преобразуемая кривая второго порядка пересекает стороны координатного треугольника в шести точках, то кривая четвёртого порядка будет иметь три узловые точки; если эти шесть точек мнимые, то им будут соответствовать три изолированные точки; если они попарно совпадают, то соответствующая кривая 4-го порядка будет иметь три точки возврата.

Особенности формы этой кривой зависят также от того, пересекает ли кривая второго порядка стороны координатного треугольника или их продолжения. Частные формы кривых, зависящие от этого обстоятельства, представлены на рисунке 3 – 6, где в качестве преобразуемой кривой второго порядка взята окружность.

Проследить особенности формы получающихся при квадратичном преобразовании кривых 4-го порядка можно, осуществляя преобразование заданной кривой второго порядка аналитически, но можно воспользоваться и графическим способом осуществления такого преобразования.

Рис. 3Рис. 4

Рис. 5Рис. 6

Если прямая с₁ проходит через вершину координатного треугольника, то при преобразовании ей будут соответствовать две прямые – прямая с₂, проходящая через ту же вершину, и противолежащая сторона треугольника (кривая второго порядка, которая должна соответствовать прямой в общем случае, эдесь распадается). Углы, составляемые прямой с₁ и прямой с₂ с биссектрисой угла А равны (рис. 7). Это обстоятельство и определяет графический способ осуществления квадратичного преобразования; а именно, чтобы найти точку Р₂, соответствующую заданной точке Р₁ с какой-либо вершиной треугольника, например с А, и проводим через вершину А прямую с₂, симметричную прямой Р₁А относительно биссектрисы угла А (рис. 8). Проводя аналогичное построение относительно вершины В, получим искомую точку Р₂ как точку пересечения найденных прямых.

Осуществляя графическим путём квадратичное преобразование для ряда точек преобразуемой кривой, мы получим соответствующие точки новой кривой.

Графический способ даёт возможность определить наличие бесконечно удалённых точек кривой 4-го порядка, получаемой в результате квадратичного пребразования некоторой кривой второго порядка.

Рис. 7

Рис. 8

Для этого потребуется уравнение бесконечно удалённой прямой в трилинейных координатах [1].

Квадратичное преобразование устанавливает соответствие между точками описанной около координатного треугольника окружности и точками бесконечно удалённой прямой.

Отсюда следует, что кривая 4-го порядка, получаемая в результате квадратичного преобразования кривой 2-го порядка, будет иметь бесконечно удалённые точки лишь в том случае, если преобразуемая кривая пересекает окружность, описанную около координатного треугольника.

Чтобы определить направление в котором удалена точка кривой в бесконечность достаточно построить указанным выше графическим путём образ точки пересечения кривой с описанной около координатного треугольника окружностью.

2)      Эллиптические кривые

Более сложными по своей природе являются кривые первого рода. Правые части их параметрических уравнений могут быть выражены эллиптическими функциями параметра, в силу чего такие кривые называют эллиптическими, и при изучении их широко пользуются свойствами эллиптических функций.

Подобно тому, как рациональные кривые 4-го порядка могут быть получены квадратичным преобразованием кривых второго порядка, эллиптические кривые 4-го порядка получаются квадратичным преобразованием кривых третьего порядка, не имеющих двойных точек и проходящих через две вершины координатного треугольника.

3)      Циркулярные кривые

Циркулярные кривые являются алгебраическими кривыми, проходящими через циклические точки плоскости. Уравнение окружности, записанное в однородных координатах, имеет вид  Точки пересечения этой окружности с несобственной прямой х₃=0 определяются системой . Полагая х₁=1, находим эти точки J₁ (1, i, 0) и J₂ (1, – i, 0). Так как изменение коэффициентов А, В, С в уравнении окружности не изменяет найденных координат, то можно утверждать, что всякая окружность проходит через точки J₁ и J₂, которые являются несобственными и мнимыми точками этой окружности и называются круговыми или циклическими точками плоскости.

4)      Бициркулярные кривые

Эти кривые получаются в результате стереографической проекции линии пересечения поверхности шара с поверхностью второго порядка, не проходящей через центр проекции.

Интересными свойствами обладают бициркулярные кривые 4-го порядка, если они одновременно являются рациональными кривыми. Будучи рациональными, эти кривые должны иметь три двойные точки, но две двойные точки их должны совпадать с циклическими точками плоскости, и следовательно, они будут иметь только одну двойную точку, не являющуюся бесконечно удалённой.

Общее уравнение таких кривых может быть записано в виде

 

(x² + y²) + (dx + ey) (x² + y²) + ax² + bxy + cy² = 0. (1)

Уравнение касательной в двойной точке имеет вид

 

ax² + bxy + cy² =0.

В зависимости от знака (или равенства нулю) дискриминанта b² – 4ac двойная точка кривой окажется изолированной, точкой возврата или узловой.

Рис. 9Рис. 10

Бициркулярные рациональные кривые 4-го порядка могут быть образованы инверсией кривой второго порядка, но при условии, что полюс инверсии не лежит на этой кривой [1].

Рис. 11Рис. 12

На рисунке 9 представлена инверсия эллипса, причём полюс инверсии находится в центре эллипса, который является изолированной точкой кривой. На рис. 10 и 11 приведена инверсия параболы, а на рис. 12 – инверсия гиперболы, причём полюс инверсии находится в фокусе гиперболы.

б) трансцендентные кривые

Трансцендентными называются кривые, уравнения которых, будучи записаны в прямоугольной системе координат, не являются алгебраическими.

Разлагая в ряд правую часть уравнения такой, например, трансцендентной кривой, как y = sin x, мы получим уравнение, содержащее алгебраические функции, однако число членов в нём будет неограниченным, а степень – бесконечно большой. Это даёт основание рассматривать трансцендентные кривые как алгебраические линии бесконечно высокого порядка. Соответственно этому можно полагать, что характерные точки алгебраических кривых (точки пересечения с прямой, точки перегиба, особые точки и т.д.) у трансцендентных кривых могут встречаться в бесконечном количестве. И это на самом деле так: трансцендентная кривая может пересекать прямую в бесконечном числе точек, у неё может быть бесконечное множество вершин даже на сколь угодно малом интервале (например, у кривой  вблизи начала координат), бесконечное количество точек перегиба, асимптот и т.д.

Но помимо этой особенности, у трансцендентных кривых могут быть характерные точки особой природы, которые не существуют у алгебраических кривых. К ним относятся точки прекращения, обладающие той особенностью, что окружность достаточно малого радиуса, проведённая из такой точки как из центра, пересекает кривую только в одной точке (например, кривая y=xlnx, имеющая точку прекращения в начале координат). Сюда относятся также угловые точки, в которых прекращаются две ветви кривой, причём каждая из них имеет в этой точке свою касательную (например, кривая , имеющая угловую точку в начале координат).

Трансцендентная кривая может иметь также ассимптотическую точку, к которой неограниченно приближается ветвь кривой, делая вокруг этой точки бесконечное количество оборотов (например, логарифмическая спираль r= а^j, для которой ассимтотической кривой является полюс).

Помимо указанных характерных точек, трансцендентные кривые могут обладать весьма своеобразными особенностями формы. Кривая может иметь, например, пунктирную ветвь, состоящую из бесконечного множества изолиованных точек (например, кривая  имеет пунктирную ветвь, располагающуюся вдоль отрицательной части абцисс и состоящую из множества изолированных точек с абциссами -p, -2p, -3p,…).

До сих пор нет удовлетворительной классификации трансценденных кривых. Попытки определить основы теории трансцендентных кривых были мало состоятельны.

Одна из таких попыток заключалась в следующем. Было замечено, что у подавляющего числа известных трансцендентных кривых, также как и у всех алгебраических кривых, угловой коэффициент  касательной в каждой точке кривой является корнем алгебраического уравнения, коэффициенты которого представляют собой полиномы от х и у. Иными словами, дифференциальные уравнения подавляющего большинства известных в науке трансцендентных кривых являются уравнениями первого порядка вида

  4. Кривые, изучаемые в школьном курсе математики

Эллипсом называется множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами. [9, 10]

Уравнение  называется каноническим уравнением эллипса.

Можно выделить следующие свойства эллипса (см. рис. 13):