Подобие фигур

 

РЕФЕРАТ

На тему: «Подобие фигур»

Выполнила:

ученица

Проверила:

Содержание

 

1.   Преобразование подобия

2.   Свойства преобразования подобия

3.   Подобие фигур

4.   Признак подобия треугольников по двум углам

5. Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

6. Признак подобия треугольников по трем сторонам

7. Подобие прямоугольных треугольников

8. Углы, вписанные в окружность

9. Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности

10. Задачи на тему «Подобие фигур»

1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ

Преобразование фигуры F в фигуру F' называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз (рис. 1). Это значит, что если произвольные точки X, Y фигуры F при преобразовании подобия переходят в точки X', Y' фигуры F', то X'Y' = k-XY, причем число k — одно и то же для всех точек X, Y. Число k называется коэффициентом подобия. При k = l преобразование подобия, очевидно, является движением.

Рис.1

Пусть F — данная фигура и О — фиксированная точка (рис. 2). Проведем через произвольную точку X фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ', равный k·OX, где k — положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка X переходит в точку X', построенную указанным способом, называется гомотетией относительно центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии, фигуры F и F' называются гомотетичными.

Теорема 1. Гомотетия есть преобразование подобия

Доказательство. Пусть О — центр гомотетии, k — коэффициент гомотетии, X и Y - две произвольные точки фигуры (рис.3)

Рис.3 Рис.4

При гомотетии точки X и Y переходят в точки X' и Y' на лучах ОХ и OY соответственно, причем OX' = k·OX, OY' = k·OY. Отсюда следуют векторные равенства ОХ' = kOX, OY' = kOY.

Вычитая эти равенства почленно, получим: OY'-OX' = k (OY- OX).

Так как OY' - OX'= X'Y', OY -OX=XY, то Х' Y' = kХY. Значит, /X'Y'/=k /XY/, т.e. X'Y' = kXY. Следовательно, гомотетия есть преобразование подобия. Теорема доказана.

Преобразование подобия широко применяется на практике при выполнении чертежей деталей машин, сооружений, планов местности и др. Эти изображения представляют собой подобные преобразования воображаемых изображений в натуральную величину. Коэффициент подобия при этом называется масштабом. Например, если участок местности изображается в масштабе 1:100, то это значит, что одному сантиметру на плане соответствует 1 м на местности.

Задача. На рисунке 4 изображен план усадьбы в масштабе 1:1000. Определите размеры усадьбы (длину и ширину).

Решение. Длина и ширина усадьбы на плане равны - 4 см и 2,7 см. Так как план выполнен в масштабе 1:1000, то размеры усадьбы равны соответственно 2,7 х1000 см = 27 м, 4х100 см = 40 м.

2. СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ

Так же как и для движения, доказывается, что при преобразовании подобия три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, переходят в три точки А₁, В₁, С₁, также лежащие на одной прямой. Причем если точка В лежит между точками А и С, то точка В₁ лежит между точками А₁ и С₁. Отсюда следует, что преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки.

Докажем, что преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

Рис. 5

Действительно, пусть угол ABC преобразованием подобия с коэффициентом k переводится в угол А₁В₁С₁ (рис. 5). Подвергнем угол ABC преобразованию гомотетии относительно его вершины В с коэффициентом гомотетии k. При этом точки А и С перейдут в точки А₂ и С₂. Треугольники А₂ВС₂ и А₁В₁С₁ равны по третьему признаку. Из равенства треугольников следует равенство углов А₂ВС₂ и А₁В₁С₁. Значит, углы ABC и А₁В₁С₁ равны, что и требовалось доказать.