S – дистрибутивная решетка

1.   S – дистрибутивная решетка.

2.  

Доказательство.

. Очевидно.

. По свойству 2 следует , тогда:

 и .

Эти условия наряду с ассоциативностью, коммутативностью и идемпотентными законами определяют дистрибутивную решетку.

V. В ограниченном полукольце единица 1 – единственный обратимый элемент.

Доказательство.

Пусть есть некоторый обратимый элемент u,

 и

VI. Пусть a – фиксированный элемент полукольца S, тогда каждое из утверждений влечет следующее утверждение:

1.   a+1=1;

2.    

3.    

Доказательство.

. Докажем методом математической индукции по числу n.

I.              База. к=1. (выполняется по условию).

II. Индуктивное предположение. Пусть для к<n условие выполняется, т.е.

Рассмотрим для k=n

 и a+1=1

Из I и II Следует .

. .

Можно выбрать из всего количества N, некоторое число, для которого тоже данное выражение будет верно.

Примером того , что условие 3 не влечет условие 1 является полукольцо матриц . Зафиксируем элемент , где . Для n=2

 верно, но  совсем неверно.

VII. Если S – полукольцо с мультипликативным сокращением и аддитивно идемпотентно, то все утверждения предыдущего свойства равносильны.

Доказательство.

Осталось доказать .

Имеем . Добавим к правой и левой части выражения равные элементы :

В силу аддитивной идемпотентности мы можем подбирать коэффициенты перед . В соответствии с биномом Ньютона, подберем коэффициенты и получим:

Используя мультипликативную сократимость, получим a+1=1. Что и доказывает равносильность условий 1 – 3.

VIII. Пусть S – ограниченное полукольцо, и существует такое  , что  для всех . Тогда:

1.  для всех ;

2.  - коммутативное ограниченное полукольцо с 1, где I – множество всех мультипликативных идемпотентов из S, а операцияопределяется так:

.

Доказательство.

1. Возьмем .

Тогда , т.к. .

Для доказательства понадобится

Лемма: В ограниченном полукольце

.

Доказательство: ММИ по числу n в .

I. База. n=1. Из условия ограниченности

II. И.П. n=i-1.

 Из условия II и ограниченности:

.

По ИП:

Из условий I,II получили, что данное равенство верно для , лемма доказана.

Рассмотрим :

Поскольку степень равна 2n-1, то в каждом из составляющих сумму слагаемых, либо (1 группа), либо  (2 группа), и только так.

Среди слагаемых 1 группы имеется член . Этот член в сумме с каждым слагаемым 1 группы будет давать самого себя, при условии  и лемме 1. из группы 1 останется только элемент

Аналогично с элементами группы 2, в которой имеется элемент , который и останется. Получаем

2 .Прежде всего проверим замкнутость операций  и + на множестве I.

(1) Поскольку в качестве аддитивной операции выбрано сложение, и все элементы из полукольца, значит (I,+) – коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0.

(2) Докажем, что  - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1:

a). Ассоциативность:

Рассмотрим элемент

Элемент X состоит из таких слагаемых, которые получены при умножении, кроме тех которые получены при произведении со всеми 1, или со всеми с. Элемент  имеется в качестве сомножителя в каждом слагаемом X, т.е.

С другой стороны

Таким образом, правые части рассматриваемых тождеств равны, значит ассоциативность доказана.

b). 1 – нейтральный элемент:

с). Коммутативность:

,

1.

2.

Из 1 и 2 следует , по причине равенств правых частей каждого, а значит следует равенство . Коммутативность доказана.  - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1.

(3) Дистрибутивность:

(4)

Все аксиомы полукольца доказаны, а значит  - коммутативное полукольцо и его элементы – элементы ограниченного полукольца, значит полукольцо – ограничено.

IX. Если в положительном полукольце S выполняется равенство

 ,

то S – аддитивно идемпотентно.

Доказательство.

 

Рассмотрим t>1

 

 

Рассмотрим t=1,

…

 

 

т.к. полукольцо положительно, то в обеих частях обратимые элементы, домножим на обратный и получим 1+1=1, умножим обе части на u, получим u+u=u, что и означает аддитивную идемпотентность.

X. В положительном полукольце S  справедливо следующее тождество:

 

Доказательство.

Домножим на обратный к :

Получим:

Что и требовалось доказать.

Библиографический список

1.            Чермных, В.В. Полукольца [Текст] / В.В. Чермных – Киров: Изд-во ВГПУ, 1997. – ст.7 – 87.

2.            Вечтомов, Е.М. Введение в полукольца [Текст] / Е.М. Вечтомов – Киров: Издательство ВГ ПУ, 2000. – ст.5 - 30.