Эллиптическая геометрия на плоскости

2.2 Эллиптическая геометрия на плоскости

Были показаны простейшие факты сферической геометрии, в которой всякие две прямые пересекаются в двух диаметрально противоположных точках. Для того, чтобы освободиться от указанного недостатка и прийти к новой геометрии, в которой прямые имели бы не более одной общей точки, условимся считать всякую пару диаметрально противоположных точек сферы за одну точку. Полученную новую поверхность после такого отождествления пар точек сферы будем называть эллиптической плоскостью и обозначать символом S₂.

Ясно, что получим ту же плоскость, если будем строить фактормножество множества векторов евклидова пространства отношению эквивалентности в которой   тогда и только тогда, когда векторы  и  непропорциональны.

Прямые эллиптической плоскости получаются из больших кругов в результате указанного отождествления пар точек и будут по-прежнему замкнутыми линиями. Но построенная плоскость S₂ стала принципиально новым объектом математического исследования.

Оставаясь замкнутой поверхностью, она утратила свойство двухсторонности. Эллиптическая плоскость является односторонней поверхностью, то есть, раскрашивая какую-нибудь одну сторону этой поверхности, раскрасим ее с обеих сторон. В эллиптической геометрии отсутствует понятие точки, лежащей между двумя другими, если они инцидентны прямой, так как две точки на прямой определяют два взаимно дополнительных отрезка. В этой геометрии можно установить понятие разделения двух пар точек А, В и М, N, инцидентных прямой. Пара A, B разделяет пару М, N, если точки М, N лежат в разных отрезках, определенных на данной прямой точками А и В. Можно убедиться, что пара точек A, В разделяет пару М, N тогда и только тогда, когда двойное отношение

(АВМN) = АМ/ВМ:АN/ВN

четырех точек А, В, М, N отрицательно.

Разумеется, эллиптическую плоскость можно представить себе также в виде полусферы, у которой диаметрально противоположные точки экватора считаются за одну точку. Объекты новой модели находятся в определенных сопоставлениях с объектами известной модели на сфере. Благодаря этому без обращения к аксиомам выводим, что эти две модели реализуют одну и ту же геометрию.

Проектирование из центра О евклидова пространства на плоскость, касательную к сфере в точке С, где ОС, переводит прямые эллиптической плоскости в прямые евклидовой плоскости . Если к точкам касательной плоскости присоединить несобственные точки, то построенное центральное проектирование будет взаимно однозначным отображением всех точек эллиптической плоскости на все точки расширенной евклидовой (проективной) плоскости. Не будем выписывать систему аксиом эллиптической геометрии и заметим лишь, что ее можно получить из аксиом проективной геометрии и аксиом конгруентности.

Все понятия плоскости S₂ переводятся по отображению в некоторые понятия двухмерной проективной геометрии. Сопоставление соответствующих геометрических образов полученной проективной модели характеризуется следующей таблицей:

Большое достоинство проективной модели состоит в том, что точки и прямые в ней изображаются привычными для нас образами. Однако, при изучении свойств конгруентных фигур сферическая модель становится более удобной.

Заметим также, что прямые и плоскости связки О евклидова пространства определяют новую модель плоскости S₂, соответствующие геометрические образы которой представляются следующей таблицей:

Реализация эллиптической плоскости в виде сферы, у которой диаметрально противоположные точки отождествлены, позволяет на этой плоскости ввести координаты (х, у, z), связанные соотношением

x²+y²+z²=R²;

где R называется радиусом кривизны, а обратная величина квадрата радиуса — кривизной. В этих координатах расстояние а между двумя точками А (х₁, у₁, z₁) и В(х₂, у₂, z₂ ) определяется по формуле

. (2.1)

Отношение расстояния между точками к радиусу кривизны называется приведенным расстоянием. Две точки плоскости S₂ называются полярными, если соответствующие этим точкам прямые трехмерного евклидова пространства ортогональны. Другими словами, полярные точки характеризуются тем, что приведенное расстояние между ними равняется . Отрезок прямой, ограниченный полярно сопряженными точками, называется полупрямой. Прямая состоит из двух полупрямых и имеет длину, равную . Очевидно, геометрическое место точек, полярных данной точке А (х₁, у₁, z₁), образует прямую

 (2.1')

Эта прямая называется полярой точки A, а точка А - полюсом прямой (2.1').

Прямые, перпендикулярные прямой, пересекаются в ее полюсе. Обратно, всякая прямая, проходящая через полюс данной прямой, будет перпендикулярной к этой прямой. Отсюда следует, что через каждую точку плоскости, отличную от полюса данной прямой, можно провести единственный перпендикуляр к этой прямой. Эти свойства непосредственно вытекают из определения полюсов и поляр.

В геометрии S₂ можно построить взаимно однозначное отображение между точками и прямыми, при котором каждой точке соответствует ее полярная прямая, а каждой прямой - ее полюс. Такое отображение называется полярным отображением. В эллиптической плоскости единичной кривизны полярное отображение переводит две прямые а, b в такие точки А, В, что расстояние между этими точками равняется углу между данными прямыми. Отсюда вытекает так называемый принцип двойственности в эллиптической планиметрии: если в какой-нибудь теореме эллиптической геометрии заменить слова «точка», «прямая», «расстояние» и «угол» соответственно на слова «прямая», «точка», «угол» и «расстояние», то в результате получим также справедливое предложение в этой геометрии. Примером двойственных предложений, т. е. предложений, получающихся одно из другого, указанного правила является следующее: любые две точки определяют прямую, им инцидентную; любые две прямые определяют точку, им инцидентную.

Найдем теперь расстояния между двумя бесконечно близкими точками М (х, у, z) и M’ (х + dх, у + dу, z + dz). Из формулы (2.1) следует, что

. (2.2)

Откуда с точностью до бесконечно малых второго порядка включительно имеем

ds=-2(xdx+ydy+zdz).

Учитывая, что координаты точки (х + dх, у + dу, z + dz) удовлетворяют равенству

(х + dх)² +(у + dу)²+ (z + dz)² =R²,

будем иметь

2(хdх + уdу + zdz) + dx² + dу² + dz² = 0.

ds² = dx² + dу² + dz². (2.2')

Полученная формула приводит к очевидному выводу о том, что в малом геометрия эллиптической плоскости совпадает со сферической геометрией. В частности, формулы (1.12) и (1.13) выражающие соответственно теорему косинусов и синусов, справедливы и в эллиптической геометрии. Формула 2.2' показывает также, что движения эллиптической плоскости S₂ представляются вращениями и отражениями евклидова пространства E₃ вокруг начала координат. Указанные движения определяются ортогональными матрицами. Так называются матрицы, у которых сумма квадратов элементов каждого столбца равняется единице, а сумма произведений соответствующих элементов разных столбцов равняется нулю. Так как матрицы, отличающиеся знаками, индуцируют одно и то же движение в эллиптической плоскости, то группа движений последней связана.

Площадь треугольников в эллиптической геометрии

Пусть в эллиптической плоскости дан треугольник AВС, обозначенной на рис. 8 номером I. Как известно, на данной плоскости порождаются еще три треугольника с теми же вершинами. Эти треугольники обозначены на рисунке номерами II, III, IV. Так как вcя эллиптическая плоскость конечна и имеет площадь, равную 2R² , то площадь части плоскости, ограниченной вертикальными углами А треугольника I, равняется

Аналогично, площадь частей эллиптической плоскости, ограниченных вертикальными углами В и С треугольника AВС, равны 2R²B, 2R²С. С другой стороны, сумма всех трех найденных площадей составляет площадь всей эллиптической плоскости с добавленной удвоенной площадью S_АВС данного треугольника АВС. В результате получаем

.

Отсюда вытекает, что

S_АВС = R²(A + B + C - ). (2.3)

Эта формула показывает, что площадь треугольника пропорциональна его дефекту. Можно доказать, что в геометрии Лобачевского площадь треугольника АВС определяется по формуле, аналогичной (2.3),

S_АВС = k²( - A - B - C ),

где k — радиус кривизны.

Окружность

Окружностью называется геометрическое место точек М(х, у, z), отстоящих от данной точки А(х₁,у_1,z₁) на данное расстояние r. Точка A называется центром окружности, r - ее радиусом.

К понятию окружности можно прийти другим путем, отправляясь от пучков прямых и соответствующих точек на прямых данного пучка. Эти вспомогательные понятия здесь вводятся так же, как в геометрии Лобачевского. Совокупность прямых, пересекающихся в данной точке A, называется пучком прямых первого рода. Точка А называется центром пучка. Пучком прямых второго рода называются прямые плоскости, перпендикулярные данной прямой а. Нетрудно убедиться, что эти пучки двойственны друг другу. В самом деле, поляра центра пучка прямых первого рода ортогонально пересекает все прямые пучка и рассматриваемая совокупность прямых является пучком прямых второго рода. Обратно, прямые пучка второго рода проходят через полюс оси пучка и составляют пучок прямых первого рода. Таким образом, всякий пучок прямых одновременно является пучком первого и второго рода. Предположим, что точки М и N лежат соответственно на прямых тиn данного пучка прямых. Эти точки М, N называются соответствующими, если отрезок МN образует равные односторонние углы с прямыми т и n. Простейшая кривая здесь определяется так же, как в планиметрии Лобачевского. Эта кривая по определению является множеством точек, соответствующих точке М на прямой т данного пучка. Полученная таким образом простейшая кривая одновременно является окружностью радиуса r с центром в точке А и эквидистантой с высотой r' = R/2 — r. Можно установить, что окружность ортогонально рассекает прямые своего пучка.

Из (2.1) следует, что уравнение окружности (рис.9) с центром в точке А(х₁,у₁,z₁) и радиусом r < R/2 приводится к виду:

 . (2.4)

Наличие двойного знака объясняется тем, что правая часть положительна, а выражение в скобках может иметь значение разных знаков.

Заметим, что множество точек, равноудаленных от двух точек A, В, состоит из двух взаимно перпендикулярных прямых, проходящих через полюс прямой, определенной данными точками. Одна из этих прямых делит пополам один отрезок АВ, а другая - дополнительный. Отсюда вытекает существование одной и только одной окружности, описанной около заданного треугольника АВС. В частности, три точки, не принадлежащие прямой, определяют на эллиптической плоскости четыре треугольника. Таким образом, через три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, можно провести четыре окружности, которые на сферической модели определяются следующими тройками точек: АВС, АВС', АВ'С, А'ВС, где А', В', С' обозначают точки, диаметрально противоположные соответственно к точкам А, В, С.

Рассмотрим вкратце свойства пар окружностей в эллиптической плоскости. В сферической геометрии две окружности, как и в евклидовой плоскости, могут не пересекаться друг с другом, касаться или пересекаться в двух точках. В эллиптической геометрии свойства пар окружностей более многообразны. Чтобы убедиться в этом, предположим, что эллиптическая плоскость интерпретирована в виде сферы, у которой диаметрально противоположные точки отождествлены. В этом случае, окружность эллиптической плоскости представляется на такой сфере в виде двух окружностей, лежащих в параллельных и равноудаленных от центра сферы плоскостях. Обратно, две окружности, полученные от пересечения сферы симметрическими относительно ее центра плоскостями, изображают в эллиптической геометрии одну окружность. Сделанные замечания позволяют составить представление о новых случаях взаимных положений двух окружностей по сравнению с сферической или евклидовой планиметрией.

Похожие работы

Неевклидова геометрия

Скачать

54084

0

7

... 3.   Б.Л. Лаптев. Н.И. Лобачевский и его геометрия. Пособие для учащихся. М. «Просвещение», 1970г. 4.   И.М. Яглам. Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрия.Серия «Библиотека математического кружка» М: 1963г. Приложение 1 Николай Иванович Лобачевский, второй сын мелкого чиновника, родился 1 декабря(20 ...

Евклидова и неевклидова геометрия

Скачать

30204

0

2

... представить другие геометрии Кант счел достаточным основанием, чтобы утверждать, что другие геометрии не могут существовать. Появление неевклидовой геометрии Но многовековые попытки доказательства пятого постулата Евклида привели в конце концов к появлению новой геометрии, отличающейся от евклидовой тем, что в ней V постулат не выполняется. Эта геометрия теперь называется неевклидовой, а в ...

Фундаментальные законы материи и концепция относительности пространства и времени

Скачать

38814

1

0

... всех фундаментальных положений классической космологии. Общая теория относительности отождествила гравитацию с искривлением четырёхмерного пространства-времени. Чтобы построить работающую относительно несложную модель, учёные вынуждены ограничить всеобщий пересмотр фундаментальных положений классической космологоии: общая теория относительности дополняется космологическим постулатом однородности ...

Учение о параллельности. Открытие неевклидовой геометрии

Скачать

29003

0

1

... целых три доказательства V постулата, ошибочность которых быстро показали его современники. Последнее «доказательство» он опубликовал в 1823 году, за три года до первого доклада Лобачевского о новой геометрии. Открытие неевклидовой геометрии В первой половине XIX века по пути, проложенному Саккери, пошли сразу три математика: К.Ф. Гаусс, Н.И. Лобачевский и Я. Бойяи. Но цель у них была уже иная ...