Геометрия Лобачевского в системе Вейля

2.3 Геометрия Лобачевского в системе Вейля

О псевдоевклидовой планиметрии

а) В евклидовой плоскости, как известно, формула квадрата расстояния между двумя точками М(х₁, х₂) и N(у₁, у₂) в декартовой, прямоугольной системе координат представляется в виде

d(M,N)²=(y₁ - x₁)²+(y₂ - x₂)². (3.1)

Угол  между векторами ОМ и ОN вычисляется из соотношения

. (3.2)

Первая формула по существу выражает теорему Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами, равными абсолютным величинам  и гипотенузой МN. Вторая же формула представляет собою формулу косинуса разности углов, образованных соответственно ОМ и ON c координатным вектором .

Теперь изменим формулы (3.1) и (3.2) и будем определять расстояние между указанными двумя точками и величины данных углов по формулам соответственно

 

d(M,N)=(y₁ - x₁)² - (y₂ - x₂)² (3.3)

 (3.4)

Прежние пары точек теперь будут иметь другие расстояния» а прежние углы – другие величины. Это по существу новая своеобразная двухмерная геометрия.

Чтобы подчеркнуть наличие другой метрики и не путать новые расстояния и величины углов со старыми, условимся называть координатную плоскость (x₁, x₂) формулами (3.3), (3.4) псевдоевклидовой плоскостью.

б) Для большей аналогии с евклидовой геометрией целесообразно ввести новое скалярное произведение векторов как произведение их длин на косинус угла между ними. Ясно, что это произведение векторов отличается от обычного скалярного произведения тех же векторов, так как длины векторов (расстояние между начальной его и конечной точками) и косинус угла понимается в смысле псевдоевклидовой геометрии.

Не будем далее перечислять следствий из формул (3.3), (3.4) и дадим аксиоматическое определение псевдоевклидовой геометрии. Делается это следующим образом.

Вместо аксиомы IV, 3 вейлевской аксиоматики, в которой говорится о том, что скалярный квадрат вектора неотрицательный, вводится другая аксиома IV, 3' о существовании ненулевых векторов первого, второго, и третьего типов, скалярные квадраты которых соответственно положительны, отрицательны и равны нулю.

Все другие аксиомы Вейля сохраняются без изменения в псевдоевклидовой геометрии. Конечно, предполагаем, что аксиомы размерности III соответствующим образом согласованы. Если речь идет о плоскости, то в аксиоме III, 1 утверждается существование двух линейно независимых векторов, а в аксиоме III, 2 утверждается, что всякие три вектора линейно зависимы.

Совокупность точек называется псевдоевклидовой плоскостью, если эти точки и их упорядоченные пары (свободные векторы) удовлетворяют аксиомам групп /--///, IV, 1, 2, 3', V. Очевидно, векторы псевдоевклидовой плоскости удовлетворяют аксиомам /--///- IV - 1, 2, 3' и образуют двухмерное псевдоевклидово векторное пространство.

В псевдоевклидовой геометрии аффинная часть полностью
совпадает с аффинной частью евклидовой геометрии. Но в метрических вопросах геометрии эти значительно отличаются друг
от друга, метрика пространства по существу определяется аксиомами скалярного произведения векторов и среди них важную роль играет именно аксиома IV, 3'.

в) Скалярное произведение двух векторов ,  в смысле псевдоевклидовой геометрии будем обозначать символом П. Векторы ,  называются перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю.

По-прежнему число П называется скалярным квадратом вектора ; корень квадратный из П которого называется длиной вектора и обозначается через ||.Таким образом,

,

Ясно, что длина вектора будет положительной, чисто мнимой или нулевой, если соответственно скалярный квадрат П>0, П<0 или П=0. Векторы положительной и чисто мнимой длины называют также соответственно пространственными и временными.

Ненулевые векторы, длины которых равны нулю, называются изотропными.

Введем понятие прямоугольной декартовой системы координат. Прямоугольной декартовой системой координат или просто прямоугольной системой координат псевдоевклидовой плоскости называется такая аффинная система координат, векторы  которой единичны или мнимоединичны и взаимно перпендикулярны.

Следовательно, один из координатных векторов псевдоевклидовой плоскости, например,  будет единичным, а другой - мнимоединичным. Таким образом, скалярное произведение координатных векторов прямоугольной системы координат определяются равенствами

. (3.5)

Очевидно, скалярное произведение двух векторов

и квадрат длины вектора  в прямоугольной системе координат вычисляются по формулам вида

(3.6)

 (3.7)

За расстояние между двумя точками M(х₁, х₂) и N(y₁, y₂) определению принимается длина вектора :

d(M,N)²=(y₁ - x₁) - (y₂ - x₂)².

 

Величиной угла между векторами  и  называется число, определенное по формуле

(3.8)

В правой части (3.8) числитель положительный, а знаменатель при неизотропных векторах ,  может быть положительным и отрицательным.

Если векторы ,  одной природы, т. е. оба множителя в знаменателе одновременно пространственные или временные, то , если же один из векторов пространственный, а другой временный, то .

Нетрудно далее доказать, что числитель в (3.8) не меньше знаменателя. Действительно, если координаты векторов  и  будут соответственно (х₁, х₂) и (у₁, у₂) в некоторой прямоугольной системе координат, то

.

Следовательно, если векторы ,  одновременно будут пространственными или временными, то

. (3.9)

Полагая в этом случае , получим

. (3.10)

В псевдоевклидовой плоскости существует три типа прямых в зависимости от природы ее направляющего вектора, если направляющий вектор будет пространственным, временным или изотропным, то прямая называется соответственно пространственной, временной или изотропной.

г) Перейдем теперь к определению понятия окружности.

Окружностью в псевдоевклидовой плоскости называется множество ее точек, отстоящих от данной точки, называемой центром на одно и то же расстояние r; величина r называется радиусом окружности. Выбирая прямоугольную систему координат с началом в центре окружности, убедимся, что координаты текущей точки (х₁, х₂) данной окружности удовлетворяют уравнению

.

В этой геометрии существует три типа окружностей - окружности вещественного, чисто мнимого и нулевого радиусов. На рис. 13 окружности нулевого радиуса изображаются с точки зрения евклидовой геометрии биссектрисами координатных углов, окружности вещественного радиуса - гиперболами, пересекающими ось Ох₁ и окружность чисто мнимого радиуса - гиперболами, пересекающими ось Ох₂.

д) В заключение рассмотрим вкратце движения в псевдоевклидовой плоскости. Движение определяется как преобразование, соответствующие точки которого имеют одни и те же координаты относительно исходной и произвольно заданной прямоугольных систем координат. Как и в евклидовой геометрии доказывается, что движение является изометрией и, обратно, всякая изометрия является движением. Изометрия определяется как преобразование, сохраняющее расстояние между двумя произвольными точками. Как и в геометрии евклидовой плоскости, движения можно разделить

на собственные движения - движения с определителем  = 1 и несобственные - движения с определителем  = - 1. Но теперь каждую из этих совокупностей в свою очередь можно разделить на две совокупности. Чтобы убедиться в этом, отметим предварительно следующие два замечания.

Во-первых, ясно, что пространственные, временные и изотропные векторы при движениях остаются соответственно пространственными, временными и изотропными.

Во-вторых, при непрерывных вращениях вокруг данной точки векторы изотропного конуса отделяют в этой точке временные векторы от пространственных.

Перейдем теперь к дальнейшему разделению на части движений псевдоевклидовой плоскости. Нетрудно видеть, что в формулах

 (3.11)

определяющих вращение, величина  не обращается в нуль. В самом деле, предположим, что в (3.11) коэффициент  равняется нулю. В таком случае пространственный вектор {1, 0} при вращении (3.11), перешел бы в вектор {0, }, который является временным, что невозможно. Таким образом, при изменениях координатных векторов , вызываемых непрерывными вращениями, коэффициент  будет знакопостоянным.

Следовательно, все движения делятся на четыре типа в зависимости от значения определителя преобразования  = 1 или  = - 1 и знака  > 0 или  < 0.

Представителями этих четырех типов будут, например, движения с матрицами:

Псевдоевклидово трехмерное пространство

а) обобщим построения псевдоевклидовой плоскости на трехмерные пространства. Аксиомы псевдоевклидова трехмерного пространства совпадают с аксиомами Вейля псевдоевклидовой плоскости, за исключением аксиом размерности III. Теперь в аксиоме III-I речь идет о существовании трех линейно независимых векторов, а в аксиоме III, 2 - всякие четыре вектора линейно зависимы.

Скалярное произведение двух векторов ,  в псевдоевклидовом пространстве будем обозначать, как и в случае псевдоевклидовой плоскости, символом . Векторы ,  - перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

Число  называется скалярным квадратом вектора. Длиной вектора  называется корень квадратный из скалярного квадрата этого вектора и обозначается через :

 

.

Подкоренное выражение может быть >0, <0, и  = 0. Длины векторов соответственно этим случаям будут вещественные, чисто мнимые и нулевые. Векторы вещественной длины называются также пространственными, векторы чисто мнимой длины — временными и векторы нулевой длины — изотропными.

В псевдоевклидовом пространстве вводится прямоугольная система координат. По определению так называется аффинная система координат, векторы которой  единичны или мнимоединичны и взаимно перпендикулярны. Будем рассматривать так называемое пространство Минковского, в котором из трех координатных векторов прямоугольной системы координат два единичные, а третий — мнимоединичный. Будем считать, что

 (3.12)

В этой системе координат скалярное произведение двух векторов и квадрат длины вектора , очевидно, вычисляются по формулам вида

И квадрат длины вектора , очевидно, вычисляются по формулам вида

,  (3.13)

. (3.14)

За расстояние между двумя точками М(x₁, x₂, x₃) и N(y₁, y₂, y₃) по определению принимается длина вектора , т. е.

. (3.15)

 

Величиной угла между векторами  и  называется число, определенное по формуле

.

Если векторы ,  одной природы, т. е. оба пространственные или временные, то . Более того, , если для х, у выполняется неравенство Коши и , если неравенство это не выполняется. Полагая в последнем случае , получим .

б) В псевдоевклидовом пространстве существует три типа прямых в зависимости от природы ее направляющего вектора. Здесь существуют также три вида плоскостей в зависимости от природы ее нормального вектора.

в) Подробнее рассмотрим вопрос о сферах. Сферой псевдоевклидова пространства П₃ называется множество точек этого пространства, отстоящих от данной точки А, называемой центром сферы, на одно и то же расстояние r. Величина r называется радиусом сферы.

Выбирая прямоугольную систему координат с началом в центре сферы, убедимся в том, что координаты х₁, х₂, х₃ текущей точки сферы радиуса r удовлетворяют уравнению

_. (3.17')

Ясно, что первые два координатных вектора прямоугольной системы здесь предполагаются единичными, а третий вектор — мнимоединичным.

В псевдоевклидовом пространстве существуют три типа сферы вещественного, чисто мнимого и нулевого радиуса.

Уравнение сферы вещественного радиуса r совпадает (3.17'), в котором величина r вещественная. Если сфера чисто мнимого радиуса r = ki, где k вещественное, то уравнение (3.17') приводится к виду

(3.17)

Если же сфера будет нулевого радиуса, то из (3.15) следует, что

_. (3.18)

Уравнение (3.18) в евклидовом пространстве является уравнением конуса, а предыдущие два - уравнениями гиперболоидов.

Ясно, что конус (3,18) состоит из асимптот сфер (3.17, 17'), имеющих центр в начале координат. Очевидно, асимптотический конус сферы совпадает с изотропным конусом ее центра. Из уравнения (3.15) следует также, что на сферах псевдоевклидова пространства имеются прямолинейные образующие - прямые целиком лежащие на сфере.

Очевидно, линией пересечения сферы с плоскостью является
окружность. Если секущая плоскость проходит через начало
Координат, то радиус окружности принимает значение, равное
радиусу сферы. Получаемые таким образом окружности сферы называются большими окружностями.

За сферическое расстояние  между двумя точками М (), N () сферы принимаем расстояние по большой окружности, соединяющей данные точки. Очевидно, это расстояние равняется произведению радиуса сферы на значение угла, образованного радиусами векторами ,. Следовательно, сферическое расстояние  определяется по формуле

. (3.19)

Если сфера чисто мнимого радиуса r = ki, то формула (3.19) приводится к виду

.

Геометрия Лобачевского

Убедимся теперь, что геометрия сферы чисто мнимого радиуса в псевдоевклидовом пространстве является Двухмерной геометрией Лобачевского. Ограничиваясь лишь одной, например, верхней полой сферы, покажем, что во множестве ее точек и больших окружностей осуществляется планиметрия Лобачевского. Для простоты эти точки можно спроектировать из центра сферы на касательную к ней плоскость в точке N. Кривую пересечения касательной плоскости с изотропным конусом будем называть абсолютом.

При проектировании точки полусферы перейдут во внутренние точки круга, ограниченного абсолютом, а большие окружности - в хорды абсолюта. Очевидно, последние являются линиями пересечения плоскостей больших окружностей с внутренностью абсолюта. Инцидентность точек и прямых понимается в обычном смысле. Ясно, что в системе точек внутренности абсолюта и его хорд аксиомы 1,1 - 3 выполняются. Аналогично аксиомы II порядка и IV непрерывности переходят в истинные предложения геометрии касательной плоскости. Что касается аксиом III группы - аксиом конгруентности, то они также переходят в истинные предложения трехмерной псевдоевклидовой геометрии. При этом считаем конгруентными те отрезки (углы), которым на сфере чисто мнимого радиуса отвечают совмещающиеся при некоторых вращениях сферы дуги больших окружностей (углы между большими окружностями).

Выясним теперь, какая выполняется аксиома параллельности: V или V’.

Предположим, что нам дана на верхней полусфере большая окружность и не лежащая на ней точка. В связке прямых и плоскостей, центр которой совпадает с центром сферы, этой большой окружности и точке отвечают соответственно плоскость и прямая a связки.

Очевидно, что через прямую а можно провести бесчисленное множество плоскостей связки, рассекающих полусферу по большим окружностям, не пересекающимися с данной большой окружностью. Таким образом в рассматриваемой модели выполняется аксиома параллельности Лобачевского. Другими словами, плоскостная геометрия Лобачевского совпадает с геометрией сферы чисто мнимого радиуса.

Эти рассуждения позволяют принять следующее общее определение n-мерных неевклидовых геометрий.

Неевклидовыми геометриями n-измерений называются геометрии, которые порождаются на n-мерных сферах, S_n вещественного или чисто мнимого радиуса в (n+1)-мерном евклидовом соответственно псевдоевклидовом пространстве. Предполагается также» что диаметрально противоположные точки этих сфер отождествлены, т. е. такие пары точек считаются за одну точку.

Из этого определения следует, что при возрастании n число типов неевклидовых пространств также растет. Неевклидовы геометрии являются геометриями простейших римановых пространств определенной и неопределенной метрики, составляющих так называемый класс пространств постоянной ненулевой кривизны. Каждое из таких n-мерных пространств допускает совокупность движений, зависящую от n(n+1)/2 параметров.

Очевидно, при n=2 получим эллиптическую плоскость и плоскость Лобачевского. Геометрия, этих плоскостей будет соответственно геометрией сферы евклидова пространства и геометрией сферы чисто мнимого радиуса в псевдоебклидовом пространстве.

Наша ближайшая задача — вывести основные формулы сферического треугольника (так называется треугольник на сфере, образованный тремя дугами больших окружностей). Эти формулы выражают основные математические соотношений в треугольниках геометрии Лобачевского.

а) Сначала докажем так называемую теорему косинусов. Предположим, что нам дан сферический треугольник с вершинами А(), В (), С (), углами A, В, С и противолежащими сторонами соответственно а, b, с.

Очевидно, эти стороны связаны с радиус-векторами вершин сферического треугольника следующими равенствами

 (3.21)

Предположим далее, что касательная плоскость к сфере в точке С пересекает радиусы ОА и ОВ в точках  и . Эти числовые множители, радиусов векторов точек A₁ и B₁ определяются совсем просто, если учесть ортогональность векторов ,  и ,  Действительно,

т. е.

.

Отсюда на основании (3.21) следует, что

. (3.22)

Повторяя приведенные рассуждения для другой пары  и  ортогональных векторов, получим

. (3.23)

Найдем теперь скалярное произведение векторов  и . С одной стороны, имеем

,

Где

Следовательно, на основании (3.22, 3.23) имеем

Поэтому

.

С другой стороны,

.

Применяя затем (3.21), (3.22), (3.23), получим

 (3.25)

Сравнивая (3.24) и (3.25), заключаем

Или

. (3.26)

Формула (3.26) не зависит от нашего предположения о точках пересечения А₁ и В₁. Эта формула выражает теорему косинусов сферического треугольника сферы чисто мнимого радиуса: косинус гиперболической стороны сферического треугольника равен произведению косинусов гиперболических двух других сторон без произведения синусов гиперболических этих же сторон на косинус угла между ними.

б) Переходим теперь к выводу теоремы синусов. Вычислим для этого квадрат отношения . На основании (3.26), имеем

. (*)

Видим, что числитель правой части является симметричным выражением относительно переменных а, b, с. Нетрудно убедиться, что такой же симметричностью относительно этих переменных обладает и знаменатель. В самом деле

 (3.27)

Таким образом, квадрат искомого отношения симметричен относительно сторон а, b, с. Это означает, что заменяя обозначения сторон а, b, с и углов А, В, С в круговом порядке в (*) получим отношения , , равные . Извлекая из этих отношений квадратные корни, получим формулы

, (3.28)

выражающую теорему синусов сферического треугольника в геометрии сферы чисто мнимого радиуса: синусы гиперболических сторон сферического треугольника относятся как синусы противолежащих углов.

в) Заметим, что формулы (3.26) и (3.28) геометрии сферы чисто мнимого радиуса r = ki в псевдоевклидовом пространстве можно получить из соответствующих формул сферического треугольника в евклидовом пространстве, заменяя  на ,  на ,  на .

Применяя это правило, получим вторую теорему косинусов для сферического треугольника в случае сферы мнимого радиуса:

 (3.29)

Иначе, косинус угла сферического треугольника равен произведению синусов двух других углов на косинус гиперболической стороны между этими углами без произведения косинусов двух других углов.

Отсюда следует, что если углы одного сферического треугольника равны соответствующим углам другого сферического треугольника, то такие треугольники равны.

Формулы прямоугольного треугольника

Предположим, угол С треугольника AВС является прямым. Применяя теорему косинусов (3.26), получим

. (3.30)

Это равенство выражает теорему Пифагора в геометрии Лобачевского: косинус гиперболической гипотенузы прямоугольного треугольника равняется произведению косинусов гиперболических катетов. Применяя формулу (3.28) будем иметь:

, (3.31)

. (3.32)

Полученные формулы можно выписать по мнемоническому правилу, аналогичному правилу Непера в сферической геометрии.

В этих формулах связываются пять элементов прямоугольного треугольника, которые можно рассматривать в циклическом порядке . Для каждого элемента предшествующий и последующий элементы называются прилежащими, а остальные два элемента - противолежащими элементами. Мнемоническое правило формулируется следующим образом.

Косинус элемента прямоугольного треугольника в геометрии Лобачевского равняется произведению синусов противолежащих элементов или произведению котангенсов прилежащих элементов.

Если под знаком функции входит угол, то функция понимается в тригонометрическом смысле. Если же входит длина, то она делится на радиус кривизны и их функция понимается в гиперболическом смысле. Наконец, в случае, когда под знаком функции стоит катет, функция меняется на смежную: синус — на косинус, тангенс — на котангенс и наоборот.

Пользуясь приведенным правилом, получим для каждого элемента соответствующие выражения через прилежащие и противолежащие элементы прямоугольного треугольника:

(3.33)

 

Основная формула Лобачевского

Пусть дана на плоскости Лобачевского прямая a и точка A, не инцидентная ей. Опустим из точки А перпендикуляр АВ на прямую а (рис. 19). Проведем также через точку А прямую АО, параллельную прямой а в каком-нибудь направлении. Угол , как указывали выше, называется углом параллельности, а ответствующим отрезку АВ. Для получения основной формул Лобачевского, связывающей угол параллельности ВАО = П(p) с отрезком p=АВ, возьмем на луче ВО какую-нибудь точку С. Для прямоугольного треугольника AВС, имеем

Будем удалять теперь точку С по лучу до бесконечности, стремится при этом к 1 и в пределе, получим

Отсюда следует, что

Вставляя в последнее равенство

окончательно получим

Эта формула, связывающая угол параллельности П(р) с соответствующим отрезком р, называется основной формулой Лобачевского. Из нее следует, что угол параллельности является монотонно убывающей функцией. Если отрезок параллельности р стремится к нулю, то угол параллельности стремится к прямому углу, если же р стремится к бесконечности, то угол П(р) стремиться к нулю.

Геометрия сферы пространства Лобачевского

Возьмем в трехмерном пространстве Лобачевского сферу радиуса R с центром в некоторой точке О. На этой сфере индуцируется некоторая сферическая геометрия. Получающаяся совокупность предложений называется геометрией сферы в пространстве Лобачевского. Рассмотрим в этой геометрии прямоугольный треугольник AВС, образованный из дуг АВ = с, АС = b, ВС = a больших кругов. Дуги больших кругов здесь, как и в сферической геометрии обычного пространства являются кратчайшими для достаточно близких точек на сфере. Углы между большими кругами понимаются как линейные углы двугранных углов, образованных плоскостями больших кругов. Предположим, что угол С данного треугольника прямой. Опустим далее из точки В перпендикуляры ВА₁ и ВС₁ на радиусы ОА и ОС соответственно. Применяя известные формулы к прямоугольному треугольнику ОВС₁ (рис. 20), получим

Аналогично из треугольников ОВА₁ и А₁ВС₁ следует, что

Исключая из этих трех соотношений ВС₁ и ВA₁, получим формулу

совпадающую с соответствующей формулой для прямоугольного сферического треугольника в евклидовом пространстве. Выведем теперь теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABС в геометрии сферы в пространстве Лобачевского. Из треугольника ОВС₁ имеем

Аналогично из треугольников ОВА₁ и OA₁C₁ соответственно следует, что

Исключая из полученных трех равенств отрезки ОС₁ и OA₁ выводим

Эта формула совпадает с соответствующей формулой для прямоугольного треугольника обычной сферической геометрии. Указанным способом можно убедиться, что в целом геометрия сферы пространства Лобачевского совпадает с геометрией сферы евклидова пространства.

О геометрии Лобачевского в малом

Предположим теперь, что в треугольнике линейные размеры a, b, c малы по сравнению с радиусом кривизны k пространства. Это предположение заведомо выполняется для треугольников с малыми линейными размерами или в пространстве достаточно малой кривизны 1/k². Разлагая в степенные ряды гиперболические функции в формуле (3.26), выражающей теорему косинусов в геометрии Лобачевского, получим

Учитывая здесь члены до второго порядка малости включительно, будем иметь

a² = b² + c² – 2 bc cosA.

 

Эта зависимость между элементами треугольника выражает теорему косинусов в евклидовой геометрии. В случае прямоугольного треугольника cosA=0; следовательно,

a² = b² + c²

т. е. справедлива теорема Пифагора. Далее при наших предположениях синусы гиперболические в формуле (3.28) в первом приближении пропорциональны аргументам, поэтому

т. е. стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Последние три равенства позволяют утверждать, что формулы геометрии Лобачевского для фигур с малыми линейными размерами совпадают с соответствующими формулами евклидовой геометрии.