Примеры вычисления интегралов

5. Примеры вычисления интегралов

Для вычисления необходимы формулы:

Г()

Вычислить интегралы

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

Для вычисления гамма-функции используется аппроксимация её логарифма. Для аппроксимации гамма-функции на интервале x>0 используется следующая формула (для комплексных z):

Г(z+1)=(z+g+0.5)^z+0.5exp(-(z+g+0.5))[a₀+a₁/(z+1)+a₂/(z+2)+...+a_n/(z+n)+eps]

Эта формула похожа на аппроксимацию Стирлинга, но в ней имеется корректирующая серия. Для значений g=5 и n=6, проверено, что величина погрешности ε не превышает 2*10^-10. Более того, погрешность не превышает этой величины на всей правой половине комплексной плоскости: z > 0.

Для получения (действительной) гамма-функции на интервале x>0 используется рекуррентная формула Г(z+1)=zГ(z) и вышеприведенная аппроксимация Г(z+1). Кроме того, можно заметить, что удобнее аппроксимировать логарифм гамма-функции, чем ее саму. Во-первых, при этом потребуется вызов только одной математической функции - логарифма, а не двух - экспоненты и степени (последняя все равно использует вызов логарифма), во-вторых, гамма-функция - быстро растущая для больших x, и аппроксимация ее логарифмом снимает вопросы переполнения.

Для аппроксимации Ln(Г(х) - логарифма гамма-функции - получается формула:

log(Г(x))=(x+0.5)log(x+5.5)-(x+5.5)+

log(C₀(C₁+C₂/(x+1)+C₃/(x+2)+...+C₇/(x+8))/x)

Значения коэффициентов C_k - табличные данные (см. в программе).

Сама гамма-функция получается из ее логарифма взятием экспоненты.

Заключение

Гамма функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях.

Благодаря этому они широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки.

Список литературы 1. Специальные функции и их приложения: Лебедев И.И.,М.,Гостехтериоиздат,1953

2. Математический анализ часть 2:

Ильин О.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х.,М.,”Московский университет”,1987

3. Сборник задач по математическому анализу:

Демидович Б.П.,М.,Наука,1966

4. Интегралы и ряды специальные функции:

Прудников А.П., Брычков Ю.А.,М.,Наука,1983

5. Специальные функции:

Кузнецов , М.,”Высшая школа”,1965

 6.Асимптотика и специальные функции

Ф.Олвер, М.,Наука,1990.

7.Зоопарк чудовищ или знакомство со спецмальными функциями

О.М.Киселёв,

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1 - График гамма-функции действительного переменного

Приложение 2 – График Гамма-функции

Таблица – таблица значений гамма-функции при некоторых значениях аргумента.

Приложение 3 – листинг программы, рисующий таблицу значений гамма-функции при некоторых значениях аргумента.

Приложение 4 – листинг программы, рисующей график гамма-функции

СОДЕРЖАНИЕ

 

Реферат............................................................. ...................................3

Введение........................................................... ...................................4

Теоретическая часть…………………………………………………….5

Бета функция Эйлера…………………………………………….5

Гамма функция................................................. ...................................8

 2.1. Определение………………………………………………...8

2.2. Интегральное представление………………………………8

2.3. Область определения и полюсы…………………………..10

2.4. Представление Ганкеля через интеграл по петле………..10

2.5. Предельная форма Эйлера………………………………...12

2.6. Формула для произведения………………………………..13

Производная гамма функции ........................ ..................................15

Вычисление интегралов. Формула Стирлинга...........................18

Примеры вычислений интегралов................... ..................................23

Практическая часть…………………………………………………….24

Заключение....................................................... ..................................25

Список литературы……………………………………………..............26

Приложения……………………………………………………………..27

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

 

График гамма-функции действительного переменного

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

График Гамма-функции

ТАБЛИЦА

х	g(x)
1.450 1.452 1.454 1.458 1.460 1.462 1.464 1.466 1.468 1.470 1.472 1.474 1.476 1.478 1.480	0.8856616058 0.8856432994 0.8856284520 0.8856170571 0.8856091082 0.8856045988 0.8856035228 0.8856058736 0.8856116452 0.8856208314 0.8856334260 0.8856494230 0.8856688165 0.8856916004 0.8857177690

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

 

#include<stdio.h>

#include<stdlib.h>

#include<iostream.h>

#include<math.h>

#include<conio.h>

#define CN 8

static double cof[CN]={

2.5066282746310005,

1.0000000000190015,

76.18009172947146,

-86.50532032941677,

24.01409824083091,

-1.231739572450155,

0.1208650973866179e-2,

 -0.5395239384953e-5,

 };

double GammLn(double x) {

double lg,lg1;

lg1=log(cof[0]*(cof[1]+cof[2]/(x+1)+cof[3]/(x+2)+cof[4]/(x+3)+cof[5]/(x+4)+cof[6]/(x+5)+cof[7]/(x+6))/x);

lg=(x+0.5)*log(x+5.5)-(x+5.5)+lg1;

 return lg;

}

double Gamma(double x) {

return(exp(GammLn(x)));

 }

 void main()

{

double x[8],g[8];

int i,j;

clrscr();

cout<<"vvedite x[1]";

cin>>x[1];

printf("\n\t\t\t_________________________________________");

printf("\n\t\t\t| x |Gamma(x) |");

printf("\n\t\t\t_________________________________________");

for(i=1;i<=8;i++)

{

x[i+1]=x[i]+0.5;

g[i]=Gamma(x[i]);

 printf("\n\t\t\t| %f | %f |",x[i],g[i]);

}

printf("\n\t\t\t_________________________________________");

printf("\n Dlia vuhoda iz programmu najmite lybyiy klavishy");

getch();

}

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

 

#include<stdio.h>

#include<graphics.h>

#include<math.h>

#include<conio.h>

Double gam(double x, double eps)

{

Int I, j, n, nb;

Double dze[5]={1.6449340668422643647,

1.20205690315959428540,

1.08232323371113819152,

1.03692775514336992633,

1.01734306198444913971};

Double a=x, y, fc=1.0, s, s1, b;

If(x<=0)

{

Printf (“вы ввели неправильные данные, попробуйте снова\n”); return -1.0;

}

If(x<i)

 {

A=x+1.0;

Fc=1.0/x;

}

While (a>=2)

{

A=a-1.0;

Fc=fc*a;

}

A=a-1.0;

If(a==0) return fc;

B=a*a;

S=0;

For (i=0;i<5;i++)

{

S=s+b*dze[i]/(i+2.0);

B=-b*a;

}

Nb=exp((i.0/6.0)*(7.0*log(a)-log(42/0)-log(eps)))+I;

For (n=1;n<=nb;n++)

{

B=a/n;

Si=0;

For(j=0; j<5; j++)

{

Si=si+b/(j+1.0);

B=-b*a/n;

}

S=s+si-log(1.0+a/n);

}

Y=exp(-ce*a+s);

Return y*fc;

}

Main()

}

Double dx,dy, xfrom=0,xto=4, yto=5, h, maxy, miny;

Int n=100, I, gdriver=DETECT, gmode, X0, YN0, X, Y, Y0,pr=0;

Initgraph(&gdriver,&gmode, “ ”);

X0=30;

YN0=getmaxy()-20;

Line(30, getmaxy ()-10,30,30);

Line(20, getmaxy ()-30, getmaxx ()-20, getmaxy ()-30);

X=170;

Y=450;

Do{

Moveto(X,Y);

DO{

Y=Y-1;

Lineto(X,Y);

Y=Y-10;

Moveto(X,Y);

}while (Y>30);

X=X+150;

Y=450;

}while (X<700);

X=30;

Y=366;

Do{

Moveto(X,Y);

Do{

X=X+1;

Lineto(X,Y);

X=X+10;

Moveto(X,Y);

}while (X<=620);

Y=Y-84;

X=30;

}while (y>=30);

X=30+150.0*0,1845;

Moveto(X,30);

For9i=1;i<n,i++)

{

Dx=(4.0*i)/n;

Dy=gam(dx,1e-3);

X=30+(600/0*i)/n;

Y=450-84*dy;

If(Y<30) continue;

Lineto (X,Y);

}

X=30+150.0*308523;

Lineto(X,30);

Line (30,30,30,10);

Line(620,450,640,450);

Line(30,10,25,15);

Line(30,10,25,15);

Line(640,450,635,445);

Line(640,450,635,455);

Line(170,445,170,455);

Line(320,445,320,455);

Line(470,445,470,455);

Line(620,445,620,455);

Line(25,366,35,366);

Line(25,282,35,282);

Line(25,114,35,114);

Line(25,30,35,30);

Outtexty(20,465,"0");

Outtexty(165,465, "1";

Outtexty(315,465, "2";

Outtexty(465,465, "3";

Outtexty(615,465, "4";

Outtexty(630,465, "x";

Outtexty(15,364, "1";

Outtexty(15,280, "2";

Outtexty(15,196, "3";

Outtexty(15,112, "4";

Outtexty(15,30, "5";

Outtexty(15,10, "y";

Getch()

}