Ряды динамики и распределения

Задача 1

Динамика выпуска продукции (млн. условных единиц) представлена в табл. 1.

Таблица 1

Годы	Выпуск продукции, млн. усл. ед.
1	926
2	961
3	938
4	974
5	965
6	983
7	1015
8	1068
9	1122

1. Построить ряд динамики. Изобразить ряд в виде линейного графика. Сделать вывод о наличии тенденции изменения уровня и о ее характере (увеличение уровня, снижение уровня, переломы тенденции, периоды одинакового типа тенденции).

Из графика видно, что тенденция изменения уровня имеет характер увеличения выпуска продукции в зависимости от года. В третьем году наблюдался перелом кривой выпуска (снижение).

2. Рассчитать среднюю хронологическую (ряд динамики интервальный). При разном направлении изменения уровней выделить однородные по тенденции периоды и рассчитать частные хронологические.

3. Рассчитать систему производных показателей ряда динамики (абсолютные приросты, темпы роста и прироста, абсолютные значения одного процента прироста).

4. Показать взаимосвязь цепных и базисных темпов роста и прироста.

Средний уровень динамического ряда рассчитаем как среднюю хронологическую простую:

y_cp=∑y_i/n=8952/9 = 994,66

Рассчитать средний абсолютный прирост. При разном направлении изменения уровней выделить однородные по тенденции периоды и рассчитать частные средние абсолютные приросты.

Абсолютные приросты цепные и базисные:

∆_цепной=y_i – y_i-1; ∆_базисн=y_i – y₀

Темпы роста цепные и базисные:

Т_цепной =100*y_i / y_i-1; Т_базисн=100*y_i / y₀

Темпы прироста цепные и базисные:

∆Т_цепной =100*∆_цепной / y_i-1 = Т_цепной – 100;

∆Т_базисн=100*∆_базисн / y₀= Т_базисн – 100

Абсолютное содержание 1% прироста:

А=∆_цепной /∆Т_цепной= y_i-1/100

Средний абсолютный прирост:

∆y_ср=∑∆_цепные/(n-1)=196/8 = 24,5

5. Рассчитать средний темп роста (три методики расчета). При разном направлении изменения уровней выделить однородные по тенденции периоды и рассчитать частные средние темпы роста.

Средний темп роста:

Т_р^ср=100 * (y_конеч/ y_нач)^1/8=100 * (1122/926) ^1/8= 1,2117^0,125 * 100 = 102,04

Средний темп прироста:

Т∆^ср =Т_р^ср-100=102,04–100 = 2,04

6. Проанализировать тенденцию изменения уровня, самостоятельно избрав метод (скользящий средний уровень, аналитическое выравнивание по соответствующей модели). Выровненные значения показать на графике.

Y = a + bt

 где n – численность совокупности (в данном случае n =9).

, , в данном случае

а = 8952/9 = 994,67 млн. ед.

b = 1223/60= 20,38 млн. ед.

Уравнение тренда: y = 994,67 + 20,38 t.

Выбираем модель изменения уровня – аналитическое выравнивание. Расчет приведен в таблице. Выровненные значения показаны на графике.

7. Проанализировать сезонные колебания объема выпуска продукции за три года. Рассчитать индекс сезонности. На графике изобразить сезонную волну.

Индексы сезонности показывают, во сколько раз фактический уровень ряда в момент или интервал времени t больше среднего уровня либо уровня, вычисляемого по уравнению тенденции f(t). При анализе сезонности уровни временного ряда показывают развитие явления по месяцам (кварталам) одного или нескольких лет. Для каждого месяца (квартала) получают обобщенный индекс сезонности как среднюю арифметическую из одноименных индексов каждого года. Индексы сезонности – это, по либо уровень существу, относительные величины координации, когда за базу сравнения принят либо средний уровень ряда, либо уровень тенденции.

Способы определения индексов сезонности зависят от наличия или отсутствия основной тенденции.

При наличии тренда индекс сезонности определяется на основе методов, исключающих влияние тенденции. Порядок расчета следующий:

·           для каждого уровня определяют выровненные значения по тренду f(t);

·           рассчитывают отношения ;

при необходимости находят среднее из этих отношений для одноименных месяцев (кварталов) по формуле:

, (Т – число лет).

i₁ = 926/912,48 =1,01

i₂ = 961/932,86 = 1,03

i₃ = 938 / 953,24 = 0,98

i₄ = 974/973,62 = 1,00

i₅ = 965/994 = 0,97

i₆ = 983/1014,38 = 0,97

i₇ = 1015/1034,76 = 0,98

i₈ = 1068 / 1055,14 = 1,01

i₉ = 1122 / 1075,52 = 1,04

График сезонной волны приведен на рисунке:

Расчет приведен в табл.

Задача 2

В табл. 2 представлено распределение покупателей по группам.

Стоимость покупки, р	Количество покупателей
До 8	14
8–16	26
16–24	43
24–32	21
32 – 40	12
40–48	9
48 и более	3
Итого

1. Построить ряд распределения. Изобразить ряд графически в виде гистограммы (полигона) и кумуляты распределения. Сделать вывод о характере распределения.

Рисунок – Кумулята распределения

Рисунок – Кумулята распределения

Рисунок – Полигон распределения

Рисунок – Полигон распределения

2. Рассчитать моду, медиану, первый и третий квартиль, средний уровень признака в совокупности; сравнить значение моды, медианы, средней и сделать вывод об асимметрии распределения. Рассчитать отклонение вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратичное отклонение, коэффициент вариации.

Первая квартиль (Q₁) – значение признака у единицы, делящей ранжированный ряд в соотношении 1/4 и ¾, вторая квартиль равна медиане (Q₂ = Ме), Третья квартиль (Q₃) – значение признака у единицы, делящей ранжированный ряд в соотношении3/4 и 1/4. Порядковый номер Q₁ определяется как ∑ f / 4, для Q₃ – соответственно как 3/4∑ f

Таким образом, первый квартиль равен:

Q₁ = 128/4 = 32

Q₃ = ¾ *128 =96

Определяем показатель размаха вариации:

R = 48 – 8 = 40

Этот показатель улавливает только крайние отклонения и не отражает отклонений всех вариант в ряду.

x_ср= ∑х_i* m_i/ ∑m_i=2800/128 = 21,875

Чтобы дать обобщающую характеристику распределению отклонений, исчисляют среднее линейное отклонение l, которое учитывает различие всех единиц изучаемой совокупности. Среднее линейное отклонение определяется как средняя арифметическая из отклонений индивидуальных значений от средней, без учета знака этих отклонений:

.

l= 12,75/128 = 0,099

Относительное линейное отклонение характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины.

 = 0,099/21,875= 0,455%

Дисперсия определяется следующим образом:

σ²=∑(x_i – x_cp)²* m_i / ∑m_i=17469,28/128=136,478

Среднее квадратичное отклонение равно:

σ= √σ²=√136,478=11,68

Коэффициент вариации:

V= 100%*σ/ x_ср=100*11,68/21,875 = 53,405%

Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней = 40/21,875 *100 = 182,85%

Определим дисперсию другим методом:

136,478

Дисперсия может быть определена методом условных моментов. Момент распределения – это средняя m отклонений значений признака от какой-либо величины А: если А = 0, то момент называется начальным; если А = , то моменты – центральными; если А = С, то моменты – условными.

В зависимости от показателя степени К, в которую возведены отклонения (х – А)^к, моменты называются моментами 1-го, 2-го и т.д. порядков.

Расчет дисперсии методом условных моментов состоит в следующем: