Применение алгоритмического метода при изучении неравенств

Содержание.

Введение.

Часть 1

§1 Из истории алгоритмов.……………………………………............5

§2 Формирование умений и навыков.………………………………..6

§ 3 Понятие алгоритма. Элементарная операция.

Этапы алгоритмического процесса....……………………………..8

§4 Свойства алгоритма………………………………………………..10

§ 5 Классификация алгоритмов………………………………………13

§ 6 Этапы изучения алгоритма в школе……………………………...16

Часть 2

§1 Особенности изучения темы «Неравенства»

в курсе 9 летней школы..…………………………………………..17

§2 Формирование алгоритма « Решение неравенств

первой степени с одним неизвестным»...........…………………....20

§3 Формирование алгоритма « Решение неравенств

 второй степени с одним неизвестным»……………………………32

§4 Опытное преподавание.………………………………………..........47

Заключение..........………………………………………………………55

Литература……………………………………………………………...56

Введение

 Перед учителем математики всегда стоит вопрос: как учить детей, чтобы они не только получали знания, но и умели думать?

Школа должна подготовить учащихся к тому, чтобы в будущем они умели решать разнообразные, практические и теоретические задачи. Поэтому надо стараться формировать у учащихся достаточно общие методы мышления и деятельности, общие способы подхода к любой задаче. Алгоритм является одним из видов общих методов деятельности вообще, а не только деятельности умственной.

Понятие алгоритма пронизывает все области современной математики – от элементарной до высшей. И этот факт не может влиять на процесс обучения математики в школе. Привычка пользоваться алгоритмическими приёмами в практической работе становится требованием эпохи, мимо которого школа пройти не может. Поэтому применение алгоритмического метода становится актуальной темой сегодняшнего дня.

Цель выпускной работы: исследовать возможность применения алгоритмического метода при изучении неравенств в курсе алгебры 8-9 классов.

Задачи работы:

·     изучить учебно-методическую литературу по теории алгоритмов и теории алгоритмизации обучения.

·     выявить особенности применения алгоритмического метода в курсе алгебры 7-9 классов.

·     применить алгоритмический метод при формировании умений и навыков в решении алгоритмических неравенствах 7-9 классов.

·     разработать методику обучения алгоритмам: «Решение алгебраических неравенств первой степени с одной неизвестной» и «Решение алгебраических неравенств 2 степени с одной неизвестной».

Методы исследования:

ü изучение учебно-методической литературы.

ü наблюдение за процессом преподавания математики в средней школе.

ü опытное преподавание.

Часть 1.

§ 1 Из истории алгоритмов

Для того чтобы понять, почему алгоритмизация играет столь важную роль в процессе обучения и является эффективным средством обучения математике, обратимся к родовому понятию «алгоритм».

Каждый раз как употребляется слово «алгоритм», мы произносим имя выдающегося средневекового учёного Мухамед ибн Муса ал - Хорезми (в переводе с арабского означает «Мухамед сын Мусы из Хорезма» сокращённо Ал - Хорезми, уроженец Хивы. Его творческая деятельность протекала в 9 веке главным образом в Багдаде, где в то время правил халиф Ал – Мамун, покровительствовавший в созданном им «Доме мудрости» своего рода академии наук.

В одном из своих трудов Ал – Хорезми описал десятичную систему счисления и впервые сформулировал правило выполнения арифметический действий над целыми числами и простыми дробями.

Ал – Хорезми стремился к тому, чтобы сформулированные им правила были понятными для всех грамотных людей. Достичь этого в 9 веке, когда ещё не была разработана математическая символика, было чрезвычайно трудно. Однако ал – Хорезми удалось выработать стиль чёткого, строго словесного предписания, который не давал читателю никакой возможности уклониться от предписанного или пропустить какие – нибудь действия.

В латинском переводе арифметического труда Ал – Хорезми правила начинались словами Dixit Algorizmi (Алгоризми сказал).

В других латинских переводах автор именовался Algorithmus (Алгоритмус). Постепенно люди забыли, что Алгоризм – автор правил, и стали эти правила называть алгоритмами. Так «Алгоризми сказал» преобразовалось в «алгоритм гласит».

Так научный термин это слово первоначально обозначало лишь правила десятичной системы счисления. Затем в течении столетий этот термин приобретает постепенно всё более широкий смысл, обозначая уже не только правила десятичной системы счисления, но любые точные правила действий.

§2 Формирование умений и навыков.

Одной из основных образовательных целей обучения математике является овладение системой математических знаний, умений и навыков. Так как обучение применению алгоритмического метода невозможно без овладения определёнными умениями и навыками остановимся коротко на психологическом аспекте данного вопроса.

Человек выступает в жизни прежде всего как деятель, независимо от того, каким видом труда он занимается. Он творец и созидатель. В деятельности раскрывается богатство духовной жизни человека: глубина ума и переживаний, сила воображения и воли, формирующиеся или сформировавшиеся способности и черты характера.

Любой вид деятельности связан с движениями, независимо от того, будут ли это мускульно – мышечные движения руки при письме, при выполнении трудовой операции станочника или движения речевого аппарата при произнесении слов.

В деятельность человека всегда включены навыки и умения. В вопросе о том, какое место занимают умения и навыки деятельности: навыки ли предшествуют умениям или умения возникают раньше, существуют различные мнения. Причиной этих расхождений является многозначность понятия «умение» и многообразие видов деятельности.

Умением называют и самый элементарный уровень выполнения действий, и мастерство человека в данном виде деятельности. О первокласснике, закончившем изучение букваря, говорят, что он умеет читать. Взрослый тоже умеет читать. Если не учитывать разницы в знаниях, то между этими двумя «умениями» лежит многолетний путь упражнений, выработки навыков чтения. Это, безусловно, различные умения по их психологической структуре. Следует различать элементарные умения, идущие вслед за знаниями, и умения, выражающие ту или иную степень мастерства в выполнении деятельности, которые следуют за этапом выработки навыков.

Элементарные умения – действия, возникающие на основе знаний или в результате подражания. Умение – (мастерство) возникает в ходе выполнения деятельности, на основе уже отработанных навыков и знаний.

Когда дети начинают ходить в школу, они умеют держать карандаш, некоторые умеют писать элементы букв и целиком буквы, но у них нет навыка письма.

Квалифицированное выполнение деятельности предполагает овладение навыками выполнения отдельных действий. Навык – упрочившийся способ действия. В основе большинства навыков лежит развёрнутое, осознанное действие. Сложившиеся нервные механизмы вызывают ряд изменений в процессе выполнения действия.

 Во - первых, в результате выработки навыка резко сокращается время выполнения действия.

Во – вторых, исчезают лишние движения: сила движения приходит в соответствие с задачей деятельности.

В – третьих, отдельные самостоятельные движения объединяются в единое действие.

В результате хорошо отработанных двигательных навыков повышается производительность труда, улучшается качество работы и уменьшается утомление человека.

Навык формируется в упражнении. Упражнение – это целенаправленное, многократное выполнения действие, осуществляемое с целью его усовершенствования.

В процессе упражнений определённым образом организуется деятельность. Навык нельзя выработать в один приём. Необходима более или менее длительная тренировка, распределённая во времени, чтобы навык достиг желаемого уровня совершенства и на нём удерживался. Упражнение не есть простое повторение действия. В упражнении совершенствуется вырабатываемый навык.

§3 Понятие алгоритма. Элементарная операция. Этапы алгоритмического процесса.

Под алгоритмом обычно понимают точное общепринятое предписание о выполнении в определённой (в каждом конкретном случае) последовательности элементарных операций (из некоторой системы таких операций) для решения любой из задач, принадлежащих к некоторому классу (или типу).[27] Элементарными считают те операции, которые может выполнить система в ответ на восприятие соответствующего указания.

К числу алгоритмов не относятся правила, что-либо запрещающие вроде: “Вход посторонним воспрещён”, “Не курить”, “Въезд запрещён”. Не относятся к ним и правила, что-либо разрешающие, такие как “Разрешена стоянка автотранспорта”, “Вход” и так далее. А вот - “Уходя, гасите свет”, “Идти слева, стоять справа” (на эскалаторе) это уже алгоритмы, хотя и очень примитивные.

Примером алгоритма может служить алгоритм сложения двух положительных и отрицательных чисел: чтобы сложить два числа.

1. Определите знак суммы по следующему правилу: если числа положительные или модуль положительного больше: поставь знак плюс, если числа отрицательные или модуль отрицательного больше, то поставь знак минус;

2. Найдите модуль суммы по следующему правилу: если числа одного знака: то сложи их модули, если нет, то вычти из большего модуля меньший.

Элементарные операции в этом алгоритме: определение знака числа, нахождение модуля числа, сравнение двух чисел, сложение и вычитание двух чисел.

Или, например, алгоритм нахождения разности квадратов двух выражений по формуле а²-b²=(a-b)·(a+b)

1.      Найдите арифметический квадратный корень первого выражения.

2.      Найдите арифметический квадратный корень второго выражения.

3.      Запишите разность полученных выражений.

4.      Запишите сумму этих выражений.

5.      Запишите произведение разности и суммы полученных выражений. Элементарными здесь являются операции: извлечение арифметического квадратного корня, нахождение суммы, разности и произведения двух выражений.

Следует отметить, что на каждой ступени развития учащихся элементарные операции могут меняться. Например, извлечение квадратного корня сначала не являлось элементарной операцией. Для того чтобы операция стала элементарной, надо научить её выполнять так, чтобы при встрече учащихся со словами „извлеките квадратный корень из числа” они смогли её выполнить не задумываясь.

Открытие и формулирование алгоритмов стало одной из важнейших задач математики как науки. В процессе своего развития она стремилась искать общие алгоритмы решения задач, которые позволяли бы единым способом, (то есть посредством одной и той же системы операций) решать всё более и более широкие классы задач.

Самым же первым алгоритмом, с которым знакомится ребёнок, является, вероятнее всего, счёт на пальцах.

В начальной школе дети узнают алгоритмы арифметических действий: сложение столбиком, деление углом и другое.

С реализацией алгоритма, непосредственно связано умение, приложить его к конкретным исходным данным решаемой задачи. Такое применение называется алгоритмическим процессом. Он расчленяется на ряд самостоятельных этапов, каждый из которых предназначен для перевода данных из одного состояния в другое. Выделим эти этапы.

Этапы алгоритмического процесса.

Постановка задачи (устанавливается цель решения задачи, раскрывается её содержания, выявляются её факторы, оказывающие существенное влияние на ход вычислений или конечный результат).

    I.       Построение модели задачи (до сих пор это остаётся в большей степени делом искусства, чем науки).

   II.       Разработка алгоритма.

-    выделение автономных этапов вычислительного процесса,

-    формальная запись содержания каждого из них,

-    назначение порядка выполнения этапов,

-    проверка правильности выбранного алгоритма.

 

§4 Свойства алгоритма.

Алгоритм можно понимать и следующим образом, это точное предписание о том, какие действия и в каком порядке необходимо выполнять, чтобы решить любую задачу из данного класса однотипных задач.[16]

Объясним смысл этих слов

-      что такое «точное предписание»?

Это означает, что предписание, задающее алгоритм, должно быть составлено так, чтобы его исполнение было однозначно осуществимо и не требовало никаких свободно принимаемых (исполнителем) решений, чтобы были однозначно определены последовательность действий, и результат. Кроме того, исполнителю должно быть ясно, какое из предписаний должно выполняться на следующем шаге. Это свойство называется определённостью или детерминированностью.

 Например: В предписании, которым определяется ход некоторой игры, имеются такие указания:

1)      Подойди к книжной полке, на которой стоят три книги.

2)      Возьми книгу, стоящую в середине.

3)      Открой её на странице, номер которой оканчивается цифрой 5.

4)      Найди на этой странице первое слово.

5)      Отметь в нём первую букву.

6)      Если эта буква принадлежит к первой половине алфавите, то выполни с книгой действие А и на этом закончи свои действия.

7)      Если эта буква принадлежит второй половине алфавита, то выполни с книгой действие В и закончи свои действия.

Если допустить, что все операции, указанные в этом предписании, являются достаточно элементарными и люди которым они адресованы, умеют эти операции производить, то это предписание всё–равно не будет алгоритмом, потому что в нём есть одно неопределённое условие - „открой книгу на странице, номер которой оканчивается цифрой 5 ”.

Процесс деятельности в целом, таким образом, также оказывается не полностью детерминированным, третье указание обладает неопределённостью, так как может быть выполнено по–разному.

-      что означает «решить любую задачу из данного класса однотипных задач»?

 Каждый алгоритм предназначен для решения не одной единственной задачи, а любой задачи из некоторого бесконечного класса однотипных задач. Алгоритм является единым методом, позволяющим по любому исходному объекту из определённого бесконечного множества объектов получить искомый результат. В этом состоит свойство массовости. Так, например, алгоритм деления чисел, применяем не только к числам 243 и 3 или 150 и 5, а к любым натуральным числом.

- «решить задачу» означает решить её за конечное число шагов. Это свойство называется результативность. Оно заключается в том, что алгоритм всегда направлен на получение некоторого искомого результата, который при надлежащих исходных данных всегда получается. Рассмотрим, например, алгоритм решения квадратного уравнения при помощи формулы корней.

a·x²+b·x+c=0 , где а≠0, b и c- любые действительные числа.

1.      Вычислите дискриминанта по формуле Д= b²-4·a·c;