Формирование новых понятий и способов действий

4. Формирование новых понятий и способов действий

При введении понятия интеграла как предела интегральных сумм довольно наглядным и понятным для учащихся является пример задачи о давлении жидкости на стенку.

Задача. Бассейн высоты H наполнен водой. Вычислить давление воды на прямоугольную стенку бассейна с основанием прямоугольника, равным а.

Разделим высоту Н на n равных частей (Δh). Стенка разделится на "элементы". Так как кубометр воды весит тонну, то давление столба жидкости высоты h_i м, имеющего сечение 1 м², равно h_i тоннам.

Давление же воды на элемент, находящийся на глубине h_i, равно произведению h_i на площадь элемента: h_ia Δh. Обозначим произведение h_ia через F(h_i). Тогда величина давления на всю стенку приближенно равна

P_n≈ F₁(h₁)Δh₁+…+F_n(h_n) Δh_n.

Данную сумму называют интегральной суммой функции F(h) на отрезке [0; H]. При этом предполагается, что функция F(h) непрерывна на отрезке [0; H] и может принимать любые значения. Если  и высоты "элементов" стремятся к нулю, то точное выражение суммы равно . Его называют определенным интегралом от функции F(h) на отрезке [0; H] и обозначают .

Далее понятие определенного интеграла обобщается на произвольную непрерывную функцию F(x) и произвольный отрезок [a; b].

Рассмотрим несколько задач с физическими моделями, где интеграл определяется как приращение первообразной.

1. Задача о перемещении точки.

Пусть v=v(t) скорость прямолинейного движения точки, заданная на некотором промежутке времени [t₁; t₂]. При этом пусть v(t)>0. Как выразится длина пути, пройденного точкой за данный промежуток времени?[5]

Обозначим координату движущейся точки в момент t через S(t). Тогда, так как движение при v>0 происходит только в положительном направлении (или иначе, т. к. S(t) – функция возрастающая, ввиду того, что ), то искомое расстояние будет выражаться числом S(t₂)-S(t₁). С другой стороны S(t) есть первообразная функции v(t) (). Таким образом вычисление длины пути, пройденного точкой за данный промежуток времени, сводится к отысканию первообразной S(t) функции v(t), т. е. к интегрированию функции v(t).

Разность S(t₂)-S(t₁) называют интегралом от функции v(t) на отрезке [t₁; t₂] и обозначают так:

.

2.   Импульс силы.

Пусть на тело массой m в течение времени t действует какая-то сила F(t). Найти количество движения тела при заданной зависимости силы от времени за промежуток времени [t₁; t₂].

Как известно из физики второй закон Ньютона в импульсном представлении выражает уравнение

ΔР=FΔt.

Произведение P=mv(t) массы на скорость называется "количеством движения". Так как скорость тела зависит от времени, то за промежуток времени [t₁; t₂] искомое количество движения может быть найдено так: Р(t₂)-Р(t₁). С другой стороны Р(t) есть первообразная функции F(t). Таким образом вычисление количества движения тела за данный промежуток времени, сводится к отысканию первообразной Р(t) функции F(t).

Разность P(t₂)-P(t₁) называют интегралом от функции F(t) на отрезке [t₁; t₂] и обозначают так:

.

Величина  называется также "импульсом силы" за время [t₁; t₂]. Словесная формулировка результата: изменение количества движения равно импульсу силы.

3.   Количество электричества.

Представим себе переменный ток, текущий по проводнику. Вычислим количество электричества, протекающего за интервал времени [a; b] через сечение проводника. Если бы сила не менялась со временем, то изменение количества электричества q равнялось бы произведению I(b-a). Пусть задан закон изменения I=I(t) в зависимости от времени. Тогда количество электричества, протекающего за интервал времени [a; b], равно q(b)-q(a). С другой стороны на малом промежутке времени можно считать силу тока постоянной и равной I(t), а dq=I(t)dt, следовательно, вычисление количества электричества за данный промежуток времени, сводится к отысканию первообразной функции I(t).

Разность q(b)-q(a) называют интегралом от функции I(t) на отрезке [a; b] и обозначают так:

.

Вытекание воды из сосуда

Данная задача проста и наглядна в своей постановке для учащихся. Представим себе сосуд, из которого вытекает вода. В момент времени t поток воды вычисляется по формуле q=q(t). Найдем объем воды, вытекающей из сосуда за промежуток времени [t₁; t₂]. Объем воды, находящейся в сосуде, обозначим через V. Этот объем со временем меняется, т. е. V есть функция времени t.

Рассмотрим промежуток времени [t₁; t₂]. Очевидно, что за это время из сосуда вытечет V(t₂)-V(t₁) воды. С другой стороны, поток воды – это величина, характеризующая скорость изменения количества воды в сосуде, т.е. dV=q(t)dt. Следовательно, вычисление объема воды, вытекающей из сосуда за промежуток времени [t₁; t₂], сводится к отысканию первообразной функции q(t).

Разность V(t₂)-V(t₁) называют интегралом от функции q(t) на отрезке [t₁; t₂] и обозначают так:

.

Все вышерассмотренные модели – это наиболее часто встречающиеся в школьном курсе физики законы и формулы, поэтому они не требуют от учащихся дополнительных знаний по физике, а, следовательно, удовлетворяют как принципу научности, так и принципу доступности материала.

Зачетное занятие было проведено нами в форме обобщающего урока по теме "Первообразная. Интеграл", проведенный с помощью мультимедийной презентации.

Обобщающий урок по теме "Первообразная. Интеграл".

Цель: обобщить и систематизировать знания по теме "Первообразная. Интеграл"

Задачи:

Обучающие: обобщение и систематизация знаний учащихся, закрепление основных понятий базового уровня.

Развивающие: развитие познавательных потребностей учащихся, логического мышления и внимания, формирование потребности в приобретении знаний.

Воспитательные: воспитание сознательной дисциплины и норм поведения, воспитание ответственности, умения принимать самостоятельные решения.

Оборудование: мультимедийный проектор, презентации.

План урока

1.   Организация начала урока.

2.   Обобщение и систематизация знаний и способов деятельности

3.   Подведение итогов урока

Ход урока

1. Организация начала урока.

Проверка домашнего задания с места (фронтально).

Сегодня на уроке мы должны обобщить все знания и умения по теме "Первообразная и интеграл" с целью подготовки к контрольной работе. Начнём повторение мы с устной работы, затем проведём групповую работу, которая откроет нам некоторые исторические факты. Вспомним вычисление площадей фигур, а также повторим, где используют интеграл в физике. В заключении урока проведём самостоятельную работу по перфокартам.

Устная работа (фронтально).

1)На экране спроецирована таблица для устного счёта. Для функций, указанных в таблице, составить хотя бы одну первообразную. (Таблица в презентации).

2) Устное повторение теоретического материала (фронтально):

- Дайте определение первообразной.

- Как читается основное свойство первообразной?

- Какие правила нахождения первообразной существуют?

- Что называется неопределённым интегралом?

- Что называется криволинейной трапецией?

- Как выглядит формула Ньютона – Лейбница?

- В чём состоит геометрический смысл определенного интеграла?

- В чём состоит физический смысл определенного интеграла?

3)Верно ли? На слайде для каждой функции f(x) записана первообразная F(x), но в записи первообразной есть ошибка. Найдите ошибку и прокомментируйте.

f(x)=(8x-5)², F(x)=(8x-5)³/3+C

Ответ: не хватает перед первообразной множителя 1/8так, как функция f(x) сложная.

f(x)=sin(5+4x), F(x)= -1/5cos(5+4x)+C

Ответ: перед первообразной должен быть множитель1/4, а не 1/5так, как коэффициент к=4.

Ответ: не хватает перед первообразной множителя 2.