Кратко о линейном программировании

1.2    Кратко о линейном программировании.

Что же такое линейное программирование? Это один из первых и наиболее подробно изученных разделов математического программирования. Именно линейное программирование явилось тем разделом, с которого начала развиваться сама дисциплина «математическое программирование». Термин «программирование» в названии дисциплины ничего общего с термином «программирование (т.е. составление программ) для ЭВМ» не имеет, так как дисциплина «линейное программирование» возникла еще до того времени, когда ЭВМ стали широко применяться при решении математических, инженерных, экономических и других задач. Термин «линейное программирование» возник в результате неточного перевода английского «linear programming». Одно из значений слова «programming» - составление планов, планирование. Следовательно, правильным переводом «linear programming» было бы не «линейное программирование», а «линейное планирование», что более точно отражает содержание дисциплины. Однако, термин линейное программирование, нелинейное программирование и т.д. в нашей литературе стали общепринятыми.

Итак, линейное программирование возникло после Второй мировой войны и стал быстро развиваться, привлекая внимание математиков, экономистов и инженеров благодаря возможности широкого практического применения, а так же математической «стройности».
    Можно сказать, что линейное программирование применимо для построения математических моделей тех процессов, в основу которых может быть положена гипотеза линейного представления реального мира: экономических задач, задач управления и планирования, оптимального размещения оборудования и пр.

Задачами линейного программирования называются задачи, в которых линейны как целевая функция, так и ограничения в виде равенств и неравенств. Кратко задачу линейного программирования можно сформулировать следующим образом: найти вектор значений переменных, доставляющих экстремум линейной целевой функции при m ограничениях в виде линейных равенств или неравенств.

  Линейное программирование представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. К числу задач линейного программирования можно отнести задачи:

·          рационального использования сырья и материалов; задачи оптимизации раскроя;

·          оптимизации производственной программы предприятий;

·          оптимального размещения и концентрации производства;

·          составления оптимального плана перевозок, работы транспорта;

·          управления производственными запасами;

·          и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.

Так, по оценкам американских экспертов, около 75% от общего числа применяемых оптимизационных методов приходится на линейное программирование. Около четверти машинного времени, затраченного в последние годы на проведение научных исследований, было отведено решению задач линейного программирования и их многочисленных модификаций.

Первые постановки задач линейного программирования были сформулированы известным советским математиком Л.В.Канторовичем, которому за эти работы была присуждена Нобелевская премия по экономике.

В настоящее время линейное программирование является одним из наиболее употребительных аппаратов математической теории оптимального принятия решения.

Итак, линейное программирование - это наука о методах исследования и отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Таким образом, задачи линейного программирования относятся к задачам на условный экстремум функции.

1.3 Основная задача линейного программирования

Основная задача линейного программирования (ОЗЛП) ставится следующим образом: Имеется ряд переменных . Требуется найти такие их неотрицательные значения, которые удовлетворяли бы системе линейных уравнений:

{1.1}

и, кроме того, обращали бы в минимум линейную целевую функцию (ЦФ)

Очевидно, случай, когда ЦФ нужно обратить не в минимум, а в максимум, легко сводится к предыдущему, если изменить знак функции и рассмотреть вместо нее функцию

Допустимым решением ОЗЛП называют любую совокупность переменных , удовлетворяющую уравнениям (1.1).

Оптимальным решением называют то из допустимых решений, при котором ЦФ обращается в минимум.

На практике ограничения в задаче линейного программирования часто заданы не уравнениями, а неравенствами. В этом случае можно перейти к основной задаче линейного программирования.

Рассмотрим задачу линейного программирования с ограничениями-неравенствами, которые имеют вид

{1.2}

и являются линейно-независимыми. Последнее означает, никакое из них нельзя представить в виде линейной комбинации других. Требуется найти , которые удовлетворяют неравенствам и обращают в минимум

Введём уравнения:

{1.3}

где - добавочные переменные, которые также как и  являются неотрицательными.

Таким образом, имеем общую задачу линейного программирования - найти неотрицательные , чтобы они удовлетворяли системе уравнений (1.3) и обращали в минимум .

Коэффициенты в формуле (1.3) перед  равны нулю.

Похожие работы

Решение задачи линейного программирования симплекс-методом

Скачать

25011

8

6

... . 1.3. Построение ограничений и градиента целевой функции : 1.4. Область допустимых решений – отрезок AB. 1.5. Точка А – оптимальная. Координаты т. А: ; ; . 2. Решение задачи линейного программирования симплекс-методом. Прямая задача. Задачу линейного программирования для любой вершины в компактной форме можно представить в виде: Для получения используем алгоритм, приведённый в ...

Решения задач линейного программирования геометрическим методом

Скачать

32249

6

16

... лучей, исходящих из одной точки, называется многогранным выпуклым конусом с вершиной в данной точке.   1.4 Математические основы решения задачи линейного программирования графическим способом   1.4.1 Математический аппарат Для понимания всего дальнейшего полезно знать и представлять себе геометрическую интерпретацию задач линейного программирования, которую можно дать для случаев n = 2 и n = ...

Решение задач линейного программирования

Скачать

13008

17

7

... задачи f1(x)=max[g1(x)]=g1(x) – для первого предприятия;  - для остальных предприятий. Решение задачи оптимального распределения средств между предприятиями методом динамического программирования Таблица 12 Средства с, тыс. гр. Предприятие 1 2 3 4 G1(x) G2(x) G3(x) G4(x) 20 11 13 12 10 40 21 20 22 27 60 40 42 34 33 80 54 45 55 57 100 62 62 ...

Решение задач линейного программирования симплекс методом

Скачать

36149

6

0

... положит в такой симплекс-таблице текущие базисные переменные равными Ai,0, а свободные - нулю, то будет получено оптимальное решение. Практика применения симплекс метода показала, что число итераций, требуемых для решения задачи линейного программирования обычно колеблется от 2m до 3m, хотя для некоторых специально построенных задач вычисления по правилам симплекс метода превращаются в прямой ...