Оценка значимости коэффициентов регрессии

6. Оценка значимости коэффициентов регрессии

Для определения значимости полученных коэффициентов d₀ и d₁ уравнения (8) используется критерий Стьюдента [1], расчетное значение которого определяем по формуле

t_p=|d_i|/S{d_i}=3,114 (12)

где S {d_i} - оценка среднеквадратического отклонения коэффициента регрессии d_i.

Дисперсию коэффициентов регрессии S²_{do} и S²_{d1} рассчитываем по формулам:

(13)

 (14)

В формулы (13) и (14) входит дисперсия S²{y}, которая является сводной оценкой дисперсии случайной величины Y_u выходного параметра при условии линейной связи. Эту дисперсию определяем по формуле

 (15)

далее определяют число степеней свободы этой дисперсии:

f{S²}=mN-2=58(16)

Сравниваем табличное и расчётное значения критерия Стьюдента. Если t_p>t_т, то коэффициенты уравнения регрессии значимы и, следовательно, связь между Y и Х значима.

В нашем случае tр=3,114, а tt=2,0. Следовательно, связь между Y и Х значима.

После этого определяем абсолютные ошибки коэффициентов регрессии ε{d_i}:

ε {d_i}=S_{di}·t_T[α,f{S²}]. (17)

ε {d₀}=2,314

ε {d₁}=0,035

Тогда для истинных значений коэффициентов регрессии δ₀ и δ₁ в линейном уравнении (8) доверительные интервалы определяются неравенством

d_i-ε{d_i}≤ δ_i≤d_s+ ε{d_i}. (18)

6,961≤ δ₀≤5,289

-0,036967≤ δ₁≤-0,033

7. Определение доверительных интервалов средних и индивидуальных значений выходного параметра

Чтобы определить степень отклонения расчетных значений выходного параметра Y_Ru от истинного его значения при каждом уровне фактора X_u, определяем доверительные ошибки ε{Y_Ru} расчетного значения выходного параметра и доверительные интервалы средних и индивидуальных значений выходного параметра.

Доверительные ошибки расчетных значений выходного параметра для каждого уровня фактора рассчитывают по формуле

ε_m{Y_Ru}=S_m{y_Ru}·t_T[α,f{S²}] (19)

где S_m{y_Ru} – оценка среднеквадратического отклонения расчетного значения выходного параметраY_Ru для каждого значения x_u.

Оценку среднеквадратического отклонения рассчитывают по формуле

 (20)

Расчеты ε_m{Y_Ru} и S_m{Y_Ru} заносим в табл.4.

Далее в таблицу заносят расчетные значения y_Ru, полученные по уравнению регрессии (8).

Зная ошибки расчетной величины, определяем доверительные интервалы для испытанных средних значений выходного параметра.

Нижний доверительный интервал определяют:

Y_m^(н)=y_Ru- ε_m,(21)

верхний доверительный интервал :

Y_m^(в)=y_Ru+ ε_m, (22)

Значения верхних и нижних значений доверительных интервалов для каждого опыта заносим в табл. 4.

Таблица 4

Доверительные интервалы средних значений

Далее определяем границы доверительного интервала для индивидуальных значений выходного параметра Y при каждом уровне фактора.

Верхняя граница интервала:

y_l^(в)=y_Ru+S_l·t_т[α,f{S²}]. (23)

Нижняя граница интервала:

y_l^(в)=y_Ru-S_l·t_т[α,f{S²}]. (23)

Предварительно определяем ошибку:

 (25)

Используя значения S_m из табл. 4 и ранее определенные по уравнению (15) значения S²{у} и критерий Стьюдента, определяем верхние и нижние границы искомой зоны по формулам (23) и (24), сводя все расчеты в табл. 5,

Таблица 5

Выводы: в процессе выполнения лабораторной работы были изучены методы математической обработки результатов исследования свойств текстильных материалов, приведён расчёт критерия Кочрена и проверка однородности дисперсии в опытах матрицы, определена средняя дисперсия выходного параметра в опытах матрицы, коэффициенты регрессии, адекватность уравнения регрессии, расчёт критерия Фишера, определены уравнения регрессии по данным однофакторного эксперимента, доверительные интервалы средних и индивидуальных значений выходного параметра, построен график полученного уравнения регрессии.

Лабораторная работа №3 часть 1

Постановка полного факторного эксперимента при исследовании качества швейных изделий. Определение многофакторных регрессионных моделей I и II порядков при исследовании качества швейных изделий

Цель работы:

Освоить математические методы планирования полного факторного эксперимента (ПФЭ); научиться определять математические модели I и II порядков при исследовании качества швейных изделий

Содержание работы

1 .Планирование полного факторного эксперимента и обработка результатов.

2. Определение линейной модели ПФЭ.

3. Проверка адекватности уравнения I порядка.

4. Планирование многофакторного эксперимента II порядка.

5. Определение уравнения регрессии II порядка.

6. Проверка адекватности уравнения II порядка.

7. Анализ результатов работы. Формулировка выводов.

Пособия и инструменты: таблицы значений критериев Стьюдента, Фишера; микрокалькулятор.

Вариант №4

Определяли воздухопроницаемость тканей с различными значениями плотности нитей по основе (Х1)(П0=180), и коэффициентом уплотненности (Х2)(С0=0,7) с интервалами изменения соответственно 50 и 0,2. Определить уровни варьирования факторов, построить рабочую матрицу планирования. Провести обработку ПФЭ, найти уравнение регрессии, проверить его адекватность, результаты расчёта представить графически.

Матрица эксперимента

Общие сведения

Качество швейных изделий зависит от целого ряда факторов (свойства используемых материалов, швейных ниток, качество соединений и др.). Поэтому при исследовании качества швейных изделий решают многофакторную задачу, в которой изучаемое свойство объекта (Y) зависит от нескольких факторов (Х₁ , Х_2, Х_3, Х₄ и т.д.).

С той целью проводится полный факторный эксперимент (ПФЭ), в котором реализуются все возможные комбинации рассматриваемых уравнений факторов, а результаты оцениваются с помощью статистического анализа.

Планирование ПФЭ связано с построением линейных моделей вида

где - значение критерия;

 b_i - линейные коэффициенты;

 b_ij— коэффициенты двойного взаимодействия факторов.

Многофакторный эксперимент представляет собой сложную задачу, поэтому очень часто линейная математическая модель является неадекватной реальному процессу.

В данном случае переходят к планированию второго и более высоких порядков. Уравнение регрессии при этом представляет полином второй или более высокой степени. Так, при планировании второго порядка изучаемый процесс описывается уравнением второго порядка, общий вид которого представлен ниже

Порядок статистической обработки результатов эксперимента при многофакторном планировании соответствует последовательности обработки при однофакторном планировании.

Выполнение работы

1.1. Определение коэффициентов уравнения регрессии.

1.1.1. Свободный член уравнения регрессии определяем по формуле:

 где n - число опытов;

 - средний результат в каждом опыте.

1.1.2. Линейные коэффициенты определяют по формуле:

где х_iu - кодированное значение i-го фактора в каждом отдельном опыте.

1.1.3. Коэффициенты парного взаимодействия.

1.2. Оценка значимости коэффициентов уравнения регрессии.

1.2.1 Определение дисперсии результатов эксперимента:

 где  – сумма среднеквадратических отклонений результатов эксперимента от среднего значения в каждом определенном опыте;

N - повторность опытов.

1.2.2 Определение дисперсии (ошибки) коэффициентов уравнения регрессии по формуле

1.2.3. Определение доверительного интервала для коэффициентов уравнения.

где t_T= 3,18-табличное значение критерия Стьюдента для n=4.

После определения доверительного интервала сравниваем его величину с коэффициентами регрессии. Величина доверительного интервала меньше (по модулю) величины коэффициента, следовательно, данный коэффициент уравнения значим и не исключается из уравнения регрессии.