Прості функціональні залежності в екології

3.5  Прості функціональні залежності в екології

Розглянемо приклади простих функціональних залежностей, якими оперують в екології. За допомогою засобів Mathcad необхідно буде графічно порівняти траєкторії лінійної, обернено-пропорційної, дрібно-лінійної, статистичної, показової та логарифмічної функції.

1) Створення документа починається з виконання команди Файл=>Новыйй (або <Ctrl+N).

2) Введення тексту (пояснення,коментарю). Натисканням <”> створюємо текстову область і набираємо текст «Залікова робота». Команда Формат=>Текст дозволяє змінювати шрифт (необхідно поміняти Arial → Arial Cyr) і його параметри. Таким же засобом далі створюємо й інші текстові пояснення.

3) Введення формул.

Лінійна залежність

В екології повна лінійна залежність між двома змінюваними величинами зустрічається рідко. В іхтіології, прикладом такої залежності, на ранній стадії розвитку риб, є їхня вага (w), що лінійно залежить від віку (τ) через коефіцієнти (a та b), які характеризують вид та вагу риб на початку спостереження:

w(τ) = a·τ+ b (3.1)

Створимо цю залежність у Mathcad документі та проаналізуємо вплив коефіцієнтів a та b на характер одержуваних лінійних траєкторій. Для цього скористаємося декількома наборами функцій (w1,w2,w3,w4,w5,w6) та коефіцієнтів (a1, b1,a2,b2,a3,b3;…).

Встановимо ЧХ там, де повинно знаходитися перше визначення перемінних і введемо наступну послідовність символів:

а1:0,11 (або а1=0,11) поруч із ним b1:0,18 (або b1=0,18)

Завершувати створення визначень необхідно натисканням клавіші <→>, клавіші <Enter> або виконав щиголь на вільній ділянці документа.

Далі задаємо проміжок зміни τ

t< Ctrl+G>:2,2+.05;6

Тепер задаємо загальне визначення лінійної функції:

w(a,b,t,<Ctrl+G>):a*t<Ctrl+G>+b

Використовуючи отримане значення функції можна розрахувати траєторії при різномінітних коефіцієнтах (a,b):

(w1,w2,w3) – змінюється значення коефіцієнта (a1,a2,a3);

(w4,w5,w6) – змінюється значення коефіцієнта (b2,b3,b4).

4)Побудова графіка. Існує два шляхи побудови графіка:

- скористатися відповідною кнопкою панелі інструментів Графики;

- більш швидкий - натиснути клавіши <Shift+2>. Після цього в документі з’являються дві вкладені рамки. Зовнішня рамка, постачена трьома маркерами зміни розмірів, є межею графічної області і служить для переміщення графіка і зміни його розмірів. Самий графік буде знаходитися у середині меншої рамки, постаченої комірками для формул. Ці комірки призначенні для введення описів, що відповідають,осям. За допомогою клавіші <Tab> можна переходити від однієї комірки опису до іншої.

Введемо τ у якості незалежної перемінної. Потім розмістимо курсор у комірці опису осі ординат і задаємо три функції (w1,w2,w3) розділивши їх, натискуючи клавішу <,> (кома). Далі зробимо щиголь на вільній ділянці документа. Графік готовий.

Щоб змусити Mathcad притримуватися визначених меж зміни незалежної перемінної τ і функцій, їх не обхідно задати на краях абцис та ординат. Таким же чином будуємо графік для залежностей (w4,w5,w6).

- Обернено - пропорційна залежність.

Прикладом використання обернено - пропорційних функцій в екології є залежність типу «хижак-жертва». Зокрема, такі взаємовідносини мають популяції зайців і вовків. У визначений період їхнього розвитку, кількість популяції зайців (z) тим менше, чим більше кількість популяції вовків (V) . Такий зв'язок, через коефіцієнт пропорційності (с) має вид:

(3.2)

Створимо необхідні визначення і проаналізуємо вплив коефіцієнта (с1,с2,сЗ) на вид одержуваних графіків (z1,z2,z3),

v:1,1+1;46

z(c,v):c/v

За допомогою отриманого визначення функції в залежності від коефіцієнта (с1, с2, сЗ) знаходимо траєкторії (z1, z2, z3), після цього будуємо графіки.

- Дрібно - лінійна залежність, формула Михаеліса-Ментен. В екології відомо, що між кількістю страви і швидкістю її споживання мікроорганізмами існує сильна залежність, яку виражають через дрібно-раціональну функцію. Залежність швидкості (М) поглинання мікроорганізмами живильних речовин (субстрату) від його концентрації (s) можна описати відомим рівнянням Михаеліса-Ментен:

(3.3)

де: Mmах - максимальна швидкість поглинання субстрату; К_m - постійна Михаеліса, що дорівнює такої концентрації субстрату, при якій швидкість його поглинання досягає половині максимальної швидкості, тобто

Графіком функції є гіпербола то називається гіперболою Михаеліса. Коли концентрація субстрату необмежено збільшується (s→∞) швидкість поглинання прагне до постійної величини

Така пряма, до якої зменшується відстань від точок кривої, які проеціруються в безкраїсть, називається асимптотою.

Створимо необхідні визначення і проаналізуємо вплив коефіцієнтів (Кm1, Кm2, КmЗ) і (Мmах2, МmахЗ, Мmах4) на вид одержуваних траекторій Кривих.

М(Мmax,Km,s):Mmax*s/Km+s

За допомогою отриманого визначення функції розрахуємо поведінку функції (М1, М2, МЗ) змінюючи значення коефіцієнта (Кm1 , Km2. Кm3); (М4, М5, М6) - змінюючи значення коефіцієнта (Мmах2, МmахЗМmах4) . Після цього побудуємо графіки.

- Статечна залежність. Раніше було розглянуто, що іноді в іхтіології вага особі у ранньому періоді розвитку, може бути описано лінійною функцією. Для опису більш тривалих періодів розвитку особі, замість лінійної, часто застосовують статечну залежність:

(3.5)

Створимо цю залежність і в Маthcad - документі проаналізуємо вплив коефіцієнтів (a і b) на вид одержуваних графіків:

t<Ctrl+G>:2,2+.01;6

w (a,b,t<Ctrl+G>):a*(t<Ctrl+G>^b<пробіл>+1)

Натискання клавіші <пробіл> необхідно, щоб Маthcad міг визначити, що b повинна бути додана до значення τ , а не до показника ступеня b.

Використовуючи створене визначення функції розраховують траєкторії кривих для функцій (w1, w2, w3) змінюючи значення коефіцієнта (а1, а2, аЗ); для функцій (w4,w5,w6) - змінюється значення коефіцієнта (b2, bЗ, b4). Отримані результати відображають на графіках.

- Показова і логарифмічна залежності, при. визначенні показової залежності в якості аргументу (наприклад, х) виступає показник ступеня:

(3.6)

Оберненою для показової функції є логарифмічна:

(3.7)

Графіки логарифмічної функції мають таку ж форму, як і графіки показової функції, але вони розташовані стосовно останніх симетричнощодо осі х (показові – y).

Коли в показовій функції за підставу ступеня а прийняте ірраціональне число е=2,71828, то залежність називається експоненціальна. Логарифмічна функція з основою, яка рівна числу е називається натуральним логарифмом (у=ln(x)). При вивченні різноманітних природних процесів, включаючи і біологічні, найбільш часто зустрічаються залежності між перемінними величинами, що описуються показовими і логарифмічними функціями з основою е. Розглянемо декілька прикладів застосування такого виду функцій.

а) Для більшості біологічних процесів, у тому числі і розмноження різноманітних популяцій, значення змінної, що характеризує чисельність популяції, не може необмежено збільшуватися. Для опису таких процесів добре пристосована показова функція з від'ємним показником. Чисельність більшості популяцій спочатку збільшується, а потім залишається постійною і не перевищує деякої величини Nmax:

(3.8)

де κ - коефіцієнт, що визначається експериментально для кожного виду популяції; N0 - початкова чисельність популяції. Пряма N=Nmаx є горизонтальною асимптотою графіка цієї функції, а величина Мmах -називається "ємність середовища".

Збудуємо цю залежність і в Маthcad -документі проаналізуємо вплив коефіцієнта (κ) на вид одержуваних графіків:

N0:=200

Nmax:1500

t:0,0+.01;10

N(N0,Nmax,k,t):N0+(Nmax-N0)*(1-e^-k*t<пробіл>)

Для побудови графіків використовують значення функцій (N1, N2,: N3), що розраховані при різноманітних значеннях коефіцієнтів (кі, к2, кЗ).

б) Приклад, пов'язаний з дією на організм тварин шкідливих речовин (токсинів), що скорочують тривалість їх життя. Якщо дозу речовини, що діє на організм позначити через р, середню тривалість життя тварин позначити через Тm і врахуємо дію великої кількості токсичних речовин (p→∞), що скорочують тривалість життя Т до величини Tp, то процес дії шкідливої речовини добре описується наступною показовою функцією:

|

в) Приклад, у якому для кращого математичного опису процесів збільшення ваги морських тварин застосовується формула Верталанфі, тобто комбінація показової і статечної функції:

(3.10)

де Wmax - найбільша вага риби; α та t0 - експериментально обумовлені коефіцієнти.

3.6  Зберігання документа

Скориставшись командою Файл=>Сохранить можна привласнити створеному документу ім’я (або комбінація клавіш <Crtl+S>). Розширення mcd буде дано автоматично. Зберегти документ під новим ім’ям або іншій папці (диску) можна за допомогою команди Файл=>Сохранить как.