В-сплайн нульового степеня та рекурентна форма запису В-сплайнів вищих порядків

1.2 В-сплайн нульового степеня та рекурентна форма запису В-сплайнів вищих порядків

В-сплайном нульового степеня, побудованим на числовій прямій по розбиттю , називається функція вигляду:

 ,  (5)

Єдине обмеження полягає в тому, що В-сплайни повинні відповідати умові:

Зокрема, якщо , то  [2].

В-сплайн степеня , побудований на числовій прямій по розбиттю , визначається наступною рекурентною формулою:

 , (6)

де , . (7)

При однаковій відстані між сусідніми вузлами В-сплайни називаються однорідними, в протилежному випадку неоднорідними. Для однорідних B-сплайнів, базисні B-сплайни однакового степеня є зміщеними екземплярами однієї функції [3].

Нерекурсивним визначенням базисних B-сплайнів є

, (8)

де ,  [3]. (9)

1.3 Лінійні B-сплайни

Лінійні B-сплайни є неперервними, але не диференційованими.

Скориставшись рекурентною формулою (6), отримаємо формулу для лінійного В-сплайна:

  (10)

Підставивши у (10) формулу (5) маємо:

  (11)

Або у випадку рівномірної сітки з кроком  () отримаємо:

(11’)

Нижче на малюнку 1 представлено графік В-сплайна 1-го порядку:

Мал. 1 - Графік В-сплайна

1.4 Квадратичні B-сплайни

Із рекурентної формули (6), отримаємо наступну форму запису квадратичного В-сплайна:

  (12)

Тепер ми можемо, або скористатись лише формулою (11), підставивши її у (12) отримаємо:

 (13)

А у випадку рівномірної сітки з кроком h матимемо:

(13’)

Або спершу в (12) підставимо (10) і, зробивши відповідні перетворення, отримаємо квадратичний В-сплайн в вигляді:

, (14)

а потім в (14) підставимо (5) і отримаємо ту ж саму формулу (13) [4].

Графік В-сплайна 2-го -  - степеня представлено на малюнку 2:

Мал. 2 - Графік В-сплайна

В-сплайн довільного степеня  може бути відмінним від нуля лише на деякому відрізку (визначеному  вузлами) [4].

2 Кубічні B-сплайни

 

2.1 Формули задання кубічних B-сплайнів

Зробивши аналогічні дії, що й при квадратичному В-сплайні, ми отримаємо формулу (15) для кубічного В-сплайна:

Зауваження. Кубічні В-сплайни зручніше нумерувати так, щоб сплайн був відмінний від нуля на відрізку  [5]. Запишемо тепер  у випадку рівномірної сітки (з кроком ) його:

 (15’)

Типічний графік кубічного В-сплайну показано на мал. 3:

Мал. 3 - Типічний графік кубічного В-сплайну