Базис у просторі кубічних сплайнів

2.2 Базис у просторі кубічних сплайнів

 

Функція :

а) двічі неперервно диференційовна на відрізку ;

б)відмінна від нуля тільки на чотирьох відрізках

Відрізок  називають носієм функції  [6].

Доповнимо розбиття  допоміжними вузлами:

 ,взятими довільно.

За розширеною сіткою:

:можна побудувати сім’ю з  кубічних В-сплайнів:

,

Ця сім’я утворює базис в просторі кубічних сплайнів на відрізку . Тим самим довільний кубічний сплайн , побудований по розбиттю  із  вузла, може бути представлений на цьому відрізку в вигляді лінійної комбінації:

Умовами задачі коефіцієнти  цього розбиття визначаються однозначно [7].

2.3 Задачі інтерполяції з граничними умовами першого та другого роду

У випадку коли задані значення  функції в вузлах сітки і значення і  першої похідної функції на кінцях сітки (задача інтерполяції з граничними умовами першого роду), коефіцієнти  обчислюються із системи наступного вигляду:

, де (16)

Після виключення  і  отримується лінійна система з невідомими  і 3-діагональною матрицею, яку можна розв’язати, як методом Гауса, так і методом прогонки [8].

При розв’язанні задачі інтерполяції другого роду використовують значення похідних другого порядку на кінцях сітки:  і . І коефіцієнти  вже обчислюються із системи:

(16’)

таким самим чином, як і під час розв’язування задачі інтерполяції першого роду.

2.4 Апроксимація кубічними В-сплайнами

Нехай задана таблиця чисел  і , котрі є значеннями функції  і її першої похідної  у вузлах a_i, i =0,1, ..., N. Необхідна апроксимувати функцію W(a) з допомогою цих даних.

Розглянемо апроксимацію кубічними В-сплайнами. Конструкція нормованого

кубічного В-сплайна зазвичай задається так:

 (17)

В правій частині (17) стоять многочлени третього степеня виду:

 (18)

Коефіцієнти a_i , b_i , c_i , d_i визначаються із системи чотирьох рівнянь, отриманих при умовах:    и . В результаті її розв’язку можна записати:

 (19)

,  ,

При конкретизації виразу (18) використовуються формули (19), що задовольняють умови стику у вузлах a_i-2, a_i-1, a_i , a_i+1 для сплайнів:

 (20)

Та їх похідних по a, позначених штрихом:

 (21)

В роботі Б.Зав’ялова [6] для рівномірної сітки  i=0,1, ... , N, задовольняючи наступні умови (20), (21), отримано такий вираз для

Тут ,  а також з’ясовано, що S₀=2/3, S_*=1/6, S_**=1/2h.

Загальний інтерполяційний вираз, в якому використовуються нормовані кубічні В-сплайни (22), записуються так:

, (23)

де , а . Коефіцієнти b_i+1,b_i+2 визначаються із умов, що задовольняють значення функції W(a), відомих в деяких вузлах  . Зазвичай вибирають , , а  задовольняють нерівність: .

Запишемо (23) в розгорнутому вигляді. Для цього, використавши (22) отримаємо всі вирази для . Сплайн  отримаємо із четвертої рівності (22), якщо там формально замінити x на 1+ x . Тоді

 (24)

Вираз для  береться безпосередньо із (22)

 (25)

Сплайн  записується на основі другої рівності (22) шляхом формальної заміни x на x-1

 (26)

І, нарешті із першого виразу (22), замінюючи x на x-2, отримаємо:

. (27)

Тоді остаточний варіант інтерполяційного виразу, основаного на застосуванні нормованих кубічних В-сплайнів, отримаємо шляхом підстановки виразів (24)-(27) в (23)

 (28)

 

Вираз (28) дає четвертий порядок апроксимації функції  по кроку h 0( h⁴ ) . Якщо в формулі (28) виключити коефіцієнти, виразивши їх через значення апроксимуючої функції у вузлах, то отримаємо:

, де (29)

 (30)

Більш високий порядок апроксимації можна отримати за допомогою так званих напружених сплайнів, при цьому інтерполяційний вираз (29) зберігає свій вигляд, а функції, які входять до його складу задаються так:

, (31) де

; ; ;

; ; .

 

Інтерполяційний вираз виду (29) використовується, як для визначення шуканих величин між вузлами координатної сітки, так і для апроксимації частинних похідних, котрі входять до складу повної системи рівнянь [8].