Признак Коши

2. Признак Коши

Теорема 2 (признак Коши). Пусть дан ряд

 ,  . (1)

Если существует конечный предел

,

то 1) при  ряд сходится;2) при  ряд расходится.

◄ 1) Пусть . Возьмем число q такое, что . Так как существует предел

,

 где , то, начиная с некоторого номера N , будет выполняться неравенство .

В самом деле, из определенного равенства вытекает, что для любого ε ,в том числе и для

ε = , найдется такой номер N , начиная с которого будет выполняться неравенство

,

откуда  или что тоже,

.

Отсюда получаем

 для .

Таким образом, все члены ряда, начиная с , меньше соответствующих членов сходящегося ряда . По признаку сравнения ряд

сходится, а значит сходится и ряд(1).

2)Пусть . Тогда, начиная с некоторого номера N для всех n > N , будет выполняться неравенство , или

.

Следовательно,

И ряд (1) расходится. ►

 Замечание. Если , то ряд (1) может как сходиться, так и расходиться.

 Примеры. Исследовать на сходимость следующие ряды:

 1.  .

◄ Имеем

, ;

.

Ряд сходится. ►

 2.  

◄ Здесь

, ;

Ряд сходится. ►

3. Интегральный признак сходимости ряда

Теорема 3 (интегральный признак сходимости). Пусть функция f(x) определена, непрерывна, положительна и не возрастает на луче . Тогда:

1) числовой ряд  сходится, если сходится несобственный интеграл

 ; (1)

2) ряд  расходится, если расходится несобственный интеграл (1)

◄ Возьмем на графике функции f(x) точки с абсциссами

x1=1, x2=2, x3=3, … , xn = n

 и построим две ступенчатые фигуры, состоящие из выступающих и входящих прямоугольников так, как показано рис. 1. Площадь Q криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = 1, x = n, y=0 и кривой y = f(x) равна

 .

Возьмем n-ю частичную сумму ряда :

S n = f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n) ,

Тогда площадь Q+ выступающей фигуры будет равна

Q+= f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-1) = S n-1

А площадь Q- входящей фигуры равна

Q- = + f(2) + f(3) + … + f(n) = S n - f(1).

Из построения и свойств функции f(x) следует, что

Q- < Q < Q+ , т.е.

S n - f(1) < < S n-1.

Так как S n-1 < S n (в силу условия ), то

 S n - f(1) < < S n, n =1,2, … . (2)

1) Пусть интеграл (1) сходится. Тогда существует предел

,

так как

(в силу условия f(x) > 0 для  , то из неравенства (2) следует, что

S n < f(1) + ≤ f(1) + A = M = const,

т.е. 0 < S n < M для n = 1, 2, … .Тем самым, последовательность {S n} ограничена, и при возрастании n сумма S n возрастает, так как f(n ) > 0 для n = 1, 2, … . Поэтому она имеет предел

,

Что означает сходимость ряда .

2) Пусть интеграл (1) расходится. Так как по условию

 f(x) > 0 для , то

= .

Из неравенства

S n ≥ , n = 1, 2, … ,

Следует, что

,

т.е. ряд  расходится. ►

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

.

◄ Здесь . Известно, что несобственный интеграл

сходится при p > 1 и расходится при p ≤ 1. Следовательно, данный ряд сходится при p > 1 и расходится

при p ≤ 1. В частности, при p = 1 получим гармонический ряд

►

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

.

◄ В данном случае функция  и

===

=(arctg b-arctg 1)= ,

т.е. интеграл

сходится, а значит, сходится и ряд. ►

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

◄ Так как общий член данного ряда имеет вид , то выбираем функцию .

Несобственный интеграл

===

== +

расходится, следовательно, ряд тоже расходится. ►

Замечание. Нижний предел интегрирования в несобственном интеграле

можно взять произвольным, например, равным а, где а ≥ 1 – любое число.

Пример 4. Исследовать сходимость ряда

,

◄ Так как общий член ряда

то в качестве функции  возьмем

, где x ≥ 4.

Тогда

==

==

=.

Так как несобственный интеграл

сходится, то сходится и исходный ряд. ►

В случае сходимости ряда  метод, примененный при доказательстве интегрального признака сходимости, позволяет получить оценку погрешности, возникающей при замене суммы ряда частичной суммой.

Пусть функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы 9, ряд

сходится и его сумма равна S. Можно показать, что в этом случае будет сходиться и несобственный интеграл

.

Пользуясь неравенством

,

оценим остаток Rn заданного ряда, Имеем

.

Итак,

Таким образом, погрешность, получаемая при замене суммы S сходящегося ряда

его n-й частичной суммой Sn , не превосходит интеграла .

Пример 5. Установить сходимость ряда

и оценить погрешность при замене его суммы S5.

◄ Здесь

=== ==

В силу интегрального признака ряд сходится. Обозначим сумму этого ряда через S и будем считать, что

 S ≈ S5. Тогда

S ≈ S5 ==

Оценим погрешность R5. Имеем

 ►

Замечание. Обозначение

понимается так

===

=.

Пример 6. Оценить n-й остаток сходящегося ряда

где p>1.

◄ Имеем

 =  = = . ►