Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом

1. Определения

 

Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом вида

(1)

где , , , называются дифференциальными уравнениями с запаздыванием, зависящим от состояния, а именно с сосредоточенным запаздыванием.

Если заданы начальные данные в виде

(2)

То имеет смысл определить понятие решения, начинающегося в точке σ с функции φ, или, короче, начинающегося в φ.

В дальнейшем будем рассматривать только решения, удовлетворяющие условию Липшица, поэтому следует дать следующее определение:

Def 1.Функция  называется решением системы (1), (2) на отрезке  , если она удовлетворяет следующим условиям:

 на отрезке .

Естественно возникает вопрос о существовании и единственности такого решения.

Для начала сделаем некоторые обозначения.

a)  есть функция, определенная на отрезке  и удовлетворяющая условию Липшица с константой L, то есть

;

b)

c)

 

Def 2. удовлетворяет условиям a),b),c)}

 

2. Полезная лемма

 

Lemma 1: -выпуклое, замкнутое, ограниченное множество в пространстве непрерывных на отрезке  функций.

Proof:

1)Выпуклость:

a)Выберем произвольные функции , тогда

 

b);

c)на отрезке  на том же отрезке для любых .

2)Ограниченность:

Множество  определено так, что все элементы этого множества лежат в шаре радиуса

3)Замкнутость:

Возьмем последовательность функций такую, что

, .

a)

Возьмем  тогда

Так как это верно при любом , то получаем, что предельная функция удовлетворяет условию Липшица с константой L.

b) По теореме Кантора  равномерно на отрезке.

Предположим, что при этом (для простоты доказательства предположим что , если , рассуждения проводятся аналогично)

Возьмем , тогда, так как для любого положительного  и любого  выполнено , то выполнено и для данных  и t. Получим:

Так как по предположению , то получаем что , а это невозможно, так как . Противоречие показывает, что предельная функция ограничена по норме той же константой .

c)

на отрезке .

Видим, что выполнение условий a,b,c равнозначно тому что , то есть множество  замкнуто.

Лемма доказана полностью.