Отделение решений

3. Отделение решений

Задача отделения решений систем нелинейных уравнений состоит в определении достаточно малой окрестности (шара малого радиуса, центром которого является решение) около какого-нибудь одного решения и в выборе в этой окрестности начального приближения к решению. Начальное приближение должно попасть при этом в область сходимости метода.

Задача отделения решений не имеет достаточно эффективных методов общего характера. При решении уравнения предполагается знание начальных приближений к изолированному решению из постановки конкретной задачи. Если же таких данных нет, то можно дать лишь некоторые рекомендации для конкретных видов уравнений.

Так, если дано скалярное уравнение , то его решение с геометрической точки зрения можно рассматривать как абсциссы точек пересечения графика функции с осью абсцисс. Построив график функции y=f (x), приближенно определяем окрестности изолированных точек пересечения графика с горизонтальной осью. Сами точки пересечения берем за начальные приближения к точным решениям.

Безусловно, графические построения имеют большие погрешности, и выбранные начальные приближения могут не попасть в область сходимости применяемого метода.

Тогда нужно провести пробные решения на ЭВМ выбранным методом с исследованием сходимости.

Если приближения сходятся, то начальные приближения выбраны в области сходимости метода и можно получить приближенное решение с заданной точностью.

Если приближения расходятся, следует провести более точные графические построения и выбрать начальное приближение в области сходимости.

Аналогично отделяются решения для системы двух нелинейных уравнений

 , .

В этом случае на плоскости x,y строятся линии уровня функции двух переменных  и . Координаты точек пересечения графиков этих функций дают начальные приближения изолированных решений.

4. Методы решения нелинейных уравнений

 

4.1 Метод простой итерации

Метод простой итерации (см. [1]) применяется для решения систем нелинейных уравнений с любым числом уравнений. Его можно применять как для уточнения найденного решения, так и для первоначального нахождения решения. В последнем случае, однако, метод может не дать результата.

Для применения метода простой итерации система уравнений (2) приводится к виду (3).

Затем, взяв начальное приближение , которое предполагается либо известным, либо произвольным, строим последовательность

 (4)

 

по следующим формулам

(5)

 

Замечание. Для приведения системы уравнений (2) к виду (3) можно использовать прием:

где  – релаксационный параметр, определяется методом Зейделя.

4.2 Метод Зейделя

Метод Зейделя отличается от метода простой итерации тем, что вычисления ведутся по формулам:

(6)

Иными словами, при вычислении  используются не , как в методе простой итерации, а .

4.3 Метод Ньютона

Этот метод (см.[1], [4]) предложен И.Ньютоном в 1669 году, однако наиболее полное обоснование было сделано советским математиком Л.В.Канторовичем в 1949 году (см.[4]), поэтому в литературе этот метод часто называют методом Ньютона-Канторовича.

Метод Ньютона является одним из итерационных методов, получаемых линеаризацией линейного оператора

,

где  из уравнения (2).

Так, для к-го приближения  к точному решению  уравнения (2) ставится в соответствие линеаризованное уравнение вида (2), а именно:

или ,

где  – квадратная матрица Якоби, составленная из частных производных первого порядка функций,  т.е. , вычисленных в точке .

Таким образом, последовательность (4) строится по следующим правилам:

 

(),

где  – обратный оператор к линейному оператору , определяемому квадратной матрицей

Трудности построения алгоритма метода Ньютона, связанные с обращением производной  (построение ), обычно преодолеваются тем, что вместо методов обращения матрицы решают алгебраическую систему уравнений (7) относительно неизвестных . Алгоритмы решения системы линейных алгебраических уравнений хорошо отработаны, для них имеются стандартные программы для ЭВМ и, кроме того, в результате решения системы одновременно с обращением матрицы получается умножение обратной матрицы на вектор .

Итерационная формула метода Ньютона при таком подходе будет иметь вид:

 (7)

 . (8)

4.4 Модифицированный метод Ньютона

Эта разновидность метода Ньютона строится путем определения производной только в одной точке приближенного решения, т. е. Последовательные приближения (4) строятся по формулам:

, (9)

где  – начальное приближение к точному решению .