Схема алгоритма

4.5 Схема алгоритма

 

 

Рис. 4.1 Основная программа метода

Рис .4.2 Интегрирование методом Гаусса

Рис 4.3 Процедура подсчета коэффициентов по методу Гаусса

4.6 Текст программы

uses crt,graph;

var aaa,bbb,kkk:real;

const

g10c1=0.9739065285/6.2012983932;

g10c2=0.8650633667/6.2012983932;

g10c3=0.6794095683/6.2012983932;

g10c4=0.4333953941/6.2012983932;

g10c5=0.1488743390/6.2012983932;

g10x1=0.0666713443/6.2012983932;

g10x2=0.1494513492/6.2012983932;

g10x3=0.2190863625/6.2012983932;

g10x4=0.2692667193/6.2012983932;

g10x5=0.2955242247/6.2012983932;

function F(x:real):real;{интегрируемая функция}

begin

 F:= ln(1+x*x*x);

end;

function gauss_calc(a,b:real):real; {метод Гаусса}

var n,m,s,s1,s2,s3,s4,s5 :real;

begin

m:=(b+a)/2; n:=(b-a)/2;

s1:=g10c1*(f(m+n*g10x1)+f(m-n*g10x1));

s2:=g10c2*(f(m+n*g10x2)+f(m-n*g10x2));

s3:=g10c3*(f(m+n*g10x3)+f(m-n*g10x3));

s4:=g10c4*(f(m+n*g10x4)+f(m-n*g10x4));

s5:=g10c5*(f(m+n*g10x5)+f(m-n*g10x5));

s:=s1+s2+s3+s4+s5;

gauss_calc:=s*(b-a);

end;

{рекурсивная ф-ция подсчета с заданной точностью}

{ gc - ранее посчитаный интеграл на интервале (a,b)}

function gauss(a,b,eps,gc:real):real;

var t,ga,gb :real;

begin

t:=(a+b)/2; {разбиваем интервал на две половинки}

ga:=gauss_calc(a,t); {в каждой половинке считаем интеграл}

gb:=gauss_calc(t,b);

if abs(ga+gb-gc)>eps then {проверяем точность вычислений}

begin

ga:=gauss(a,t,eps/2,ga); {рекурсия для первой половинки}

gb:=gauss(t,b,eps/2,gb); {рекурсия для второй половинки}

end; {при этом точность повышаем, чтобы }

{при сложении ошибка не накапливалась}

gauss:=ga+gb; {интеграл = сумме интегралов половинок}

end;

procedure inputnum(prm:string;var num:real;lb,ub:real);

var q:boolean;

begin

 repeat

 write('Введите ',prm,' ');readln(num);

 q:=(lb>=num) or (num>ub);

 if q then writeln('Число должно быть от ', lb:0:0,' до ',ub:0:0);

 until not q;

end;

function main_menu:integer;

var i:integer;

begin

 Writeln('==========================================================');

 Writeln('0 - выход');

 Writeln('1 - решать тестовый пример a=0 b=1.2 k=10 eps = 0.0001');

 Writeln('2 - решать пример с произвольными a, b, k, eps');

 Writeln('----------------------------------------------------------');

 Write('Выбор >>> ');readln(i);

 Writeln('==========================================================');

 main_menu:=i;

end;

{Вывод графика}

procedure outputgraph(a,b,a1,b1:real;n:integer);

var i,j,j1,k:integer;t,y1,y2,x1,x2,x,y:double;s:string;

begin

 clearviewport;

 x1:=a1-1;x2:=b1+1;

 if x1<0.5 then x1:=-0.5;

 y2:=f(ln(bbb/aaa)/(bbb-aaa))*1.2;

 y1:=-y2;

 {Линия y=0}

 setcolor(15);

 y:=0;

 j:=trunc(480*(y-y2)/(y1-y2));

 line(0,j,639,j);

 {Линии x=a,x=b}

 setcolor(5);

 j:=trunc(480*(-y2)/(y1-y2));

 i:=trunc(640*(a-x1)/(x2-x1));

 j1:=trunc(480*(f(a)-y2)/(y1-y2));

 line(i,j,i,j1);

 i:=trunc(640*(b-x1)/(x2-x1));

 j:=trunc(480*(-y2)/(y1-y2));

 j1:=trunc(480*(f(b)-y2)/(y1-y2));

 line(i,j,i,j1);

 {Сам график}

 setcolor(14);

 setlinestyle(0,0,3);

 t:=(b-a)/n;

 k:=0;

 j1:=trunc(480*(-y2)/(y1-y2));

 for i:=0 to 640 do begin

 x:=(x2-x1)*i/640+x1;

 y:=f(x);

 j:=trunc(480*(y-y2)/(y1-y2));

 if j>479 then j:=479;

 if j<0 then j:=0;

 setcolor(14);

 setlinestyle(0,0,3);

 if i=0 then moveto(i,j) else lineto(i,j);

 setcolor(8);

 if (x>t*k+a) then begin

 k:=k+1;

 setcolor(15);

 end;

 k:=0;

 j1:=trunc(480*(-y2)/(y1-y2));

 for i:=0 to 640 do begin

 x:=(x2-x1)*i/640+x1;

 y:=f(x);

 j:=trunc(480*(y-y2)/(y1-y2));

 if j>479 then j:=479;

 if j<0 then j:=0;

 setcolor(14);

 setlinestyle(0,0,3);

 if i=0 then moveto(i,j) else lineto(i,j);

 setcolor(8);

 if (x>t*k+a) then begin

 k:=k+1;

 setcolor(15);

 end;

 setlinestyle(0,0,1);

 if (x>=a) and (x<=b) then line(i,j,i,j1);

 end;

 setcolor(15);

 y:=f(b);

 i:=trunc(640*(b-x1)/(x2-x1));

 j:=trunc(480*(y-y2)/(y1-y2));

 line(i,j,i,j1);

 setlinestyle(0,0,1);

 setcolor(12);

 {Подписи}

 setcolor(13);

 str(a:6:6,s);

 s:='a='+s;

 i:=trunc(640*(a-x1)/(x2-x1));

 outtextxy(i,j1+2,s);

 str(b:6:6,s);

 s:='b='+s;

 i:=trunc(640*(b-x1)/(x2-x1));

 outtextxy(i-10,j1+2,s);

 setcolor(15);

 y:=0;

 j:=trunc(480*(y-y2)/(y1-y2));

 outtextxy(5,j+3,'y=0');

 readkey;

end;

procedure equateit(eps:real);

var integral,a,b:real;i,j:integer;

begin

 a:=0;b:=1;

 Integral:=gauss(a,b,eps,gauss_calc(a,b));

 writeln('Интеграл = ',integral:0:6);

 readkey;

 i:=vga;j:=vgahi;

 initgraph(i,j,'..\bgi');

 outputgraph(a,(b+a)/2,a,b,1);

 outputgraph((b+a)/2,b,a,b,1);

 outputgraph(a,b,a,b,1);

 closegraph;

end;

var sel:integer;

 eps:real;

begin

 repeat

 clrscr;

 sel:=main_menu;

 case sel of

 1:begin

 aaa:=0.1;bbb:=1.2;kkk:=10;

 eps:=1e-4;

 equateit(eps);

 end;

 2:begin

 inputnum('a',aaa,0,1000);

 inputnum('b',bbb,-1000,1000);

 inputnum('k',kkk,-1000,1000);

 inputnum('точность',eps,0.000000001,1);

 equateit(eps);

 end;

 end;

 until sel=0;

end.

 i:=vga;j:=vgahi;

 initgraph(i,j,'..\bgi');

 outputgraph(a,(b+a)/2,a,b,1);

 outputgraph((b+a)/2,b,a,b,1);

 outputgraph(a,b,a,b,1);

 closegraph;

end;

var sel:integer;

 eps:real;

begin

 repeat

 clrscr;

 sel:=main_menu;

 case sel of

 1:begin

 aaa:=0.1;bbb:=1.2;kkk:=10;

 eps:=1e-4;

 equateit(eps);

 end;

 2:begin

 inputnum('a',aaa,0,1000);

 inputnum('b',bbb,-1000,1000);

 inputnum('k',kkk,-1000,1000);

 inputnum('точность',eps,0.000000001,1);

 equateit(eps);

 end;

 end;

 until sel=0;

end.

4.7 Тестовый пример

Используя семиточечную формулу вычислить интеграл .

(Точное решение - 2,3201169227)

Заключение

В данной работе описаны и реализованы с помощью блок-схем и языка программирования Turbo Pascal базовые задачи вычислительной математики: решение систем линейных алгебраических уравнений, полиномиальная интерполяция, среднеквадратичное приближение функции, численное интегрирование функций. Представленные методы и реализованные алгоритмы достаточно просты, но в тоже время эффективны для большого количества задач.

Список использованных источников

1.  Бахвалов Н., Жидков Н., Кобельков Г. Численные методы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. 632 с.

2.  Вержбицкий В.М., Численных методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. М.: Высшая школа, 2000. 266 с.

3.  Вержбицкий В.М., Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2002. 840 с.

4.  Пирумов У.Г. Численные методы . М.: Дрофа, 2003. 224 с.

5.  Буслов В.А., Яковлев С.Л. Яисленные методы и решение уравнений. Санкт-Петербург, 2001. 44 с.

6.  Фаронов В.В. Турбо Паскаль 7.0. Начальный курс. Учебное пособие. – М.: Нолидж, 1997. – 616 с.