Исследуем функцию на возрастание, убывание и экстремум. Для этого найдем производную функции

6. Исследуем функцию на возрастание, убывание и экстремум. Для этого найдем производную функции.

Из  получаем , откуда , .

+ _ +

______________________________________ x

-3 11

Так как на интервалах  и  производная положительна, т.е. , то график функции на указанных интервалах возрастает. Так как на интервале  производная отрицательна, т.е. , то на указанном интервале график функции убывает.

Так как при переходе через точки ,  производная функции меняет знаки и эти точки входят в область определения функции, то ,  - точки локального экстремума. Причем точка локального минимума:  (так как при переходе через нее производная меняет знак с "+" на "-");  - точка локального максимума:  (так как при переходе через нее производная меняет знак с "-" на "+").

7. Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и определим точки перегиба. Для этого найдем вторую производную функции.

Очевидно, что в интервале  вторая производная меньше нуля, т.е. , и в этом интервале график функции является выпуклым вверх. В интервале  вторая производная больше нуля, т.е. , и в этом интервале график функции является выпуклым вниз (вогнутым).

Несмотря на то, что при переходе через точку  вторая производная меняет знак, она не является точкой перегиба, так как  не входит в область определения функции, т.е. функция в ней не определена. Таким образом, точек перегиба у графика функции нет.

Из  получаем , откуда , .

+ _ +

______________________________________ x

-3 11

Так как на интервалах  и  производная положительна, т.е. , то график функции на указанных интервалах возрастает. Так как на интервале  производная отрицательна, т.е. , то на указанном интервале график функции убывает.

Так как при переходе через точки ,  производная функции меняет знаки и эти точки входят в область определения функции, то ,  - точки локального экстремума. Причем точка локального минимума:  (так как при переходе через нее производная меняет знак с "+" на "-");  - точка локального максимума:  (так как при переходе через нее производная меняет знак с "-" на "+").

4. Неопределенный интеграл

Часто возникает задача, обратная той, которая решалась в дифференциальном исчислении, а именно: дана функция , найти функцию , такую, что .

Функция  называется первообразной для данной функции  на некотором промежутке Х, если для любого  выполняется равенство

.

Например, пусть , тогда за первообразную можно взять , поскольку .

В основе интегрального исчисления лежит теорема об общем виде первообразной: если  – первообразная для функции  на промежутке Х, то все первообразные для функции  имеют вид , где С – произвольная постоянная.

Выражение вида  описывает все первообразные для функции . Действительно, для любой постоянной С

.

Пусть наряду с данной первообразной  функция  – также первообразная для . Тогда должны выполняться равенства

,

откуда . Следовательно, разность этих первообразных будет тождественно равна константе  или .

Действие нахождения первообразной называется интегрированием функции.

Доказанная теорема позволяет ввести основное понятие интегрального исчисления: если  – первообразная для , то совокупность функций , где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции , который обозначается следующим образом

.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство плоских кривых , называемых интегральными.

Для того, чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, надо взять производную от результата и убедиться, что получена подынтегральная функция . Как всякая обратная операция, интегрирование – более сложное действие, чем дифференцирование.

Приведем основные свойства неопределенного интеграла:

1. производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

;

2. неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых функций

;

3. постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла

.

Значения интегралов от основных элементарных функций получаются из формул дифференцирования этих функций. Приведем таблицу основных интегралов:

1) ;	7) ;
2) ;	8) ;
3) ;	9) ;
4) ;	10)
5) ;	11) ;
6) ;	12) .

Интегралы, содержащиеся в этой таблице, называются табличными.

Пример. Найти неопределенный интеграл. Результат интегрирования проверить дифференцированием

Решение: Для нахождения неопределенных интегралов можно воспользоваться как методом замены переменной, так и методом внесения под знак дифференциала. Покажем оба метода.

1. Воспользуемся методом замены переменной. Введем новую переменную t по формуле . Тогда  или . Тогда

После замены переменной воспользовались свойством неопределенного интеграла: постоянный множитель  можно выносить за знак неопределенного интеграла, и так как , то пришли к табличному интегралу , где  и .

2. Решим этот пример методом внесения под знак дифференциала. Замечая, что  и то, что подынтегральное выражение можно представить в виде

,

внесем под знак дифференциала . Для этого выпишем дифференциал этой функции . Тогда

После внесения под знак дифференциала функции  пришли к табличному интегралу , где  и .