Дифференциальное уравнение- уравнение , связывающее независимую переменную х, искомую функцию f(x) и ее производные
Когда дифференциальное уравнение явно не содержит у, т.е. F(x,y’,y”)=0
Комплексное число задано в алгебраической форме
А). Если ряд сходится, то его n-ый член стремится к 0 при неограниченном возрастании n (обратное утверждение неверно)
Навигация
А). Если ряд сходится, то его n-ый член стремится к 0 при неограниченном возрастании n (обратное утверждение неверно)
Основные понятия математического анализа
23337
знаков
0
таблиц
1
изображение
4. а). Если ряд сходится, то его n-ый член стремится к 0 при неограниченном возрастании n (обратное утверждение неверно).
- необходимый признак (условие) сходимости ряда.
б). Если 
то ряд расходящийся – достаточное условие расходимости ряда.
-ряды такого вида исследуются только по 4 свойству. Это расходящиеся ряды.
Знакоположительные ряды
Признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов.
Знакоположительные ряды это ряды, все члены которых положительные. Эти признаки сходимости и расходимости мы будем рассматривать для знакоположительных рядов.
1. Первый признак сравнения.
Пусть даны два знакоположительных ряда а1+а2+а3+…+аn+…=
(1) и b1+b2+b3+…+bn+…=
(2).
Если члены ряда (1) не больше соответствующих членов ряда (2), т.е. аn
bn и ряд (2) сходится, то и ряд (1) также сходится.
Если члены ряда (1) не меньше соответствующих членов ряда (2), т.е. аn
bn и ряд (2) расходится, то и ряд (1) также расходится.
Этот признак сравнения справедлив, если неравенство выполняется не для всех n, а лишь начиная с некоторого.
2. Второй признак сравнения
Если существует конечный и отличный от нуля предел 
, то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
-ряды такого вида расходятся по второму признаку сравнения. Их надо сравнивать с гармоническим рядом.
3. Признак Даламбера
Если для знакоположительного ряда (а1+а2+а3+…+аn+…=) существует 
(1), то ряд сходится, если q<1, расходится, если q>1. Если q=1 то вопрос остается открытым.
4. Признак Коши радикальный
Если для знакоположительного ряда существует предел 
(2), то ряд сходится, если q<1, расходится, если q>1. Если q=1 то вопрос остается открытым.
5. Признак Коши интегральный
Вспомним несобственные интегралы.
Если существует предел 
. Это есть несобственный интеграл и обозначается 
.
Если этот предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Ряд, соответственно, сходится или расходится.
Пусть ряд а1+а2+а3+…+аn+…=- знакоположительный ряд.
Обозначим an=f(x) и рассмотрим функцию f(x). Если f(x)- функция положительная, монотонно убывающая и непрерывная, то, если несобственный интеграл сходится, то и данный ряд сходится. И наоборот: если несобственный интеграл расходится, то и ряд расходится.
Если ряд конечен, то он сходится.
Очень часто встречаются ряды 
- ряд Дерихле. Он сходится, если p>1, расходится p<1. Гармонический ряд является рядом Дерихле при р=1. Сходимость и расходимость данного ряда легко доказать с помощью интегрального признака Коши.
Знакопеременные и знакочередующиеся ряды
Знакопеременный ряд – это ряд, среди членов которого имеются как + так и – члены.
Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд. Это ряд, у которого за каждым + членом следует -, и наоборот, т.е. знаки чередуются.
Пусть задан знакопеременный ряд а1+а2+а3+…+аn+…= (1) (члены как + так и -).
Возьмем ряд 
(3), составленный из абсолютных величин членов ряда (1). Ряд (3) является знакоположительным рядом.
Если ряд (3) сходится, то ряд (1) также сходится и называется абсолютно сходящимся (ответ получен сразу).
Если ряд (3) расходится, а:
- ряд (1) сходится, то ряд (1) называется условно сходящимся;
- ряд (1) расходится, то ряд (1) называется расходящимся.
При исследовании знакоположительных рядов можем получить 2 ответа: ряд сходится или ряд расходится.
При исследовании знакопеременных рядов могут получиться 3 ответа: ряд сходится абсолютно, ряд сходится условно, ряд расходится.
Схема
Если (3) – сходится 
(1) - сходится абсолютно.
Если (3) – расходится 
При исследовании на сходимость знакопеременного ряда (1) начинать надо с разбора знакоположительного ряда (3). Т.к. ряд (3)- знакоположительный ряд, то к нему можно применить все признаки сходимости для знакоположительных рядов.
Из расходимости ряда (3) не следует расходимость ряда (1), но если (3) расходится по признакам Даламбера или Коши радикальный, то расходится не только ряд (3), но и ряд (1).
Если ряд – знакочередующийся, то для него дается еще один признак сходимости:
Признак Лейбница
Если для знакочередующегося ряда b1-b2+b3-b4+…(bn0) выполняются условия:
1. b1b2b3b4…;
2. 
, - то данный ряд сходится условно.
Похожие работы
... некая иерархическая структура. Третья идея ССА широкое использование графических нотаций, что облегчает понимание сложных систем. В результате можно дать следующее определение ССА: структурным системным анализом называется метод исследования, проектирования и описания сложных систем в виде иерархии "черных ящиков" с помощью графических средств. Другие принципы ССА Методология ССА строится ...
... педагогически значимого подмножества, на основе которого можно было бы провести углубленное изучение понятия экстремума в его взаимосвязях с другими понятиями математического анализа. Во-вторых, объективно получается, что традиционные коллекции упражнений созданы не столько для изучения понятия экстремума, сколько для иллюстрации методов дифференциального исчисления для его отыскания. Этого вполне ...
... Итак, работа переменной силы , величина которой есть непрерывная функция F = F(x), действующая на отрезке [a; b], равна определенному интегралу от величины F(x) силы, взятому по отрезу [a; b]. В этом состоит механический смысл определенного интеграла. Аналогично можно показать, что путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t = a до t = b, равен определенному интегралу от скорости v(t): ...
... «Математических лекциях о методе интеграла»[9]. Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка. 2 Вклад Л.Эйлера в развитие математического анализа Леонард Эйлер (Euler, Leonhard) (1707–1783) входит в первую пятерку величайших математиков всех времен и народов. Родился в Базеле (Швейцария) 15 апреля ...
0 комментариев