Розрахунки зручно вести складаючи таку таблицю

1.  Розрахунки зручно вести складаючи таку таблицю.

Розрахунки допоміжних величин для обчислення кореляції і регресії по .

№ пари	Значення ознаки
	(%)	(г/см2)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Сума	19,9 20,9 26,1 29,4 30,5 40,3 44,8 47,8 55,6 58,3 64,5 76,6	0,0 0,6 1,1 1,2 1,7 1,7 2,6 3,4 4,2 5,8 6,3 7,3	396,01 436,81 681,21 864,36 930,25 1624,09 2007,04 2284,84 3091,36 3398,89 4160,25 5867,56	0,00 0,36 1,21 1,44 2,89 2,89 6,76 11,56 17,64 33,64 39,69 53,29	0,00 12,54 28,71 35,28 51,85 68,51 116,48 162,52 233,52 338,14 406,35 559,18

Розв’язання:

2.  За даними таблиці обчислюємо шість допоміжних величин: ;

3.  Обчислюється коефіцієнт кореляції, регресії і рівняння регресії:

коефіцієнт кореляції

коефіцієнт регресії  і

Рівняння регресії

Таким чином шукана залежність має вигляд:

4.  Визначається похибка і критерій значущості для коефіцієнта кореляції:

Похибка коефіцієнта кореляції

критерій значущості коефіцієнта кореляції

5.  Фактичне значення  порівнюється з теоретичним , яке приймається рівним: 8-9 ступенів волі (при  - це 10-11 пар спостережень) – 2,3; для 10-14 ступенів волі – 2,2; для 15-24 ступенів волі – 2,1; для 25-100 ступенів волі – 2,0. Кореляція і регресія визначається суттєвою, якщо . В нашому прикладі , так як . Значить між вологістю грунту і її налипання є суттєвий прямий зв’язок.

6.  За отриманим рівнянням регресії обчислюють теоретичне значення для крайніх величин  (19,9 і 76,6, згідно таблиці)

;

Знайдені точки (  і ) наносяться на графіці, з’єднуючи їх прямою, маємо теоретичну лінію регресії. Вона показує, що збільшення вологості грунту на 1% відповідає збільшенню налипання на 0,13 г/см².

3. Парна регресія

Парна залежність може бути апроксимована прямою лінією, параболою, гіперболою, логарифмічною, степеневою або показниковою функцією,поліномом і інше.

Рис. Вигляди основних ліній різних зв’язків між змінними величинами і їх рівняння.

1.  Пряма, яка проходить через початок координат має рівняння  (3,а).

2.  Пряма, що не проходить через початок координат має рівняння , або . Ці залежності вимагають визначення двох параметрів і . (3, б, в).

3.  Парабола з вершиною в початку координат і симетрична одній із осей має рівняння . Формула один параметр  із зменшенням якого зменшується розхил параболи (рис.3, г).

4.  Парабола, симетрична прямій паралельній осі  має рівняння . Функція квадратична. У формулі необхідно визначити три параметра: ,  і (рис.3, д, є).

5.  Гіпербола, асимптотично наближається до осей координат, рівняння має вигляд , необхідно визначити параметр (рис.3, ж).

6.  Гіпербола асимптотично наближається до прямих, паралельних до осей координат, рівняння має вигляд . Параметри  і  є координатами точки . Знак параметра  залежить від розміщення гіперболи по відношенню до асимптот (рис.3, з).

7.  Степеневі криві (рис.3, и, к), рівняння , де  може бути додатнім, цілим або дробовим.

8.  Показникові крива, коли із зростанням однієї величини  спостерігається підсилене зростання . Рівняння  (рис.8.3, л).

Двох факторне поле можна апроксимувати, площиною, параболоїдом другого порядку, гіперболоїдом. Для  - змінних фактів зв’язок можна встановити за допомогою  - мірного простору рівняннями другого порядку

 (17)

де  - функція мети багатофакторних змінних;

 - незалежні фактори;

 - коефіцієнт регресії, що характеризують вплив фактора  на функцію мети;

 - коефіцієнти, які характеризують подвійний вплив факторів  і  на функцію мети.

При побудові теоретичної регресійної залежності, оптимальною буде така функція, в якій виконуються умови найменших квадратів , де  - фактичні координати поля;  - середнє значення ординати з абсцисою , обчисленою з рівняння. Після кореляції апроксимують рівнянням прямої. Лінію регресії розраховують з умови найменших квадратів:

 (18)

При цьому крива АВ найкращим чином вирівнює значення постійних коефіцієнтів  і , тобто коефіцієнтів рівняння регресії. Їх обчислюють за формулами:

 (19)

 (20)

Критерієм близькості кореляційної залежності між  і  до лінійної функціональної залежності є коефіцієнт парної або просто коефіцієнт кореляції . Він просто показує ступінь лінійності зв’язку  і .

 (21)

де - число вимірів.

Задовільна тіснота зв’язку при , добра при . Для визначення проценту мінливості шуканої функції  відносно її середнього значення, який визначається мінливістю фактора , обчислюють коефіцієнт детермінації

 (22)

Рівняння регресії прямої записати таким виразом:

 (23)

Література:

1. Белый И.В. и др. Основы научных исследований и технического творчества / И.В. Белый, К.П. Власов, В.Б. Клепиков. — Х,: Вища шк. Изд-во при Харьк. ун-те, 1989-200с.

2. Белуха Н.Т. Основы научных исследований в экономике. — К.: Вища шк. Головное изд-во, 1985.— 215с.

3. Вознюк С.Т. и др. Основы научных исследований. Гидромелиорация / Вознюк С.Т., Гончаров С.М., Ковалев С.В. — К.: Вища шк. Головное издательство, 1985-192с.

4. Воловик П.М. Теорія імовірностей і математична статистика в педагогіці —Х.: Вища шк., 1969-222с.

5. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Изд. 4-е — М.: Высшая школа, 1972. — 367с.

6. Митропольский А.К. Техника статистических вычислений. М.: Наука, 1971, 576с.

7. Нечаев Ю.И. Основы научных исследований — Киев, Одесса: Вища шк. Головное изд-во, 1983, — 160с.

8. Румшиский Л.Э. Математическая обработка результатов эксперимента. М.: Наука, 1971,— 192с.

9. Сиденко В.М. Грушко И.М. Основы научных исследований. Харьков. Вища шк, 1977, — 240с.

10. Сытник В.Ф. Основы научных исследований. К.: Вища шк. Головное изд-во. 1978, — 184с.