Беселеві функції

Курсова робота

"Беселеві функції"

1. Беселеві функції з будь-яким індексом

Рівняння Лапласа в циліндричних координатах

Щоб пояснити походження Беселевих функцій, розглянемо рівняння Лапласа в просторі:

. (1)

Якщо перейти до циліндричних координат по формулах:

, , ,

те рівняння (1) прикмет наступний вид:

. (2)

:

,

Нехай  є рішення згаданого виду. Підставляючи його в (2), одержимо:

,

звідки (після ділення на )

.

Записавши це у вигляді:

,

знайдемо, що ліва частина не залежить від , права не залежить від , ; отже, загальна величина цих виражень є деяка постійна . Звідси:

; ;

; ;

.

В останній рівності ліва частина не залежить від , права не залежить від ; отже, загальна величина цих виражень є деяка постійна . Звідси:

, ;

, .

Таким чином, , ,  повинні задовольняти лінійним диференціальним рівнянням другого порядку:

,

(3)

, ,

з яких друге й третє є найпростіші лінійні рівняння з постійними коефіцієнтами, а перше є лінійним рівнянням зі змінними коефіцієнтами нового виду.

Обернено, якщо , ,  задовольняють рівнянням (3), тобто  рішення рівняння (2). Справді, підставляючи  в ліву частину (2) і ділячи потім на , одержимо:

.

Таким чином, загальний вид всіх трьох рішень рівняння (2), які є добутком трьох функцій, кожна з яких залежить від одного аргументу, є , де , ,  – будь-які рішення рівнянь (3) при будь-якому виборі чисел , .

Перше з рівнянь (3) у випадку ,  називається рівнянням Беселя. Думаючи в цьому випадку , позначаючи незалежну змінну буквою  (замість ), а невідому функцію – буквою  (замість ), знайдемо, що рівняння Беселя має вигляд:

. (4)

Це лінійне диференціальне рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами відіграє більшу роль у додатках математики. Функції, йому задовольняючі, називаються Беселевими, або циліндричними, функціями.

Беселеві функції першого роду

Будемо шукати рішення рівняння Беселя (4) у вигляді ряду:

.

Тоді

,

,

,

.

Отже, приходимо до вимоги

або до нескінченної системи рівнянь

 ,

яка розпадається на дві системи:

 

Перша з них задовольниться, якщо взяти … У другій системі  можна взяти довільно; тоді … однозначно визначаються (якщо  не є цілим негативним числом). Взявши

,

знайдемо послідовно:

,

,

,

і як рішення рівняння (4) одержимо ряд:

Цей ряд, що формально задовольняє рівнянню (4), сходиться для всіх позитивних значень  і, отже, є рішенням рівняння (4) в області  (у випадку цілого  в області ).

Функція

 (5)

називається бесселевой функцією першого роду з індексом . Вона є одним з рішень рівняння Беселя (4). У випадку цілого ненегативного індексу  одержимо:

, (5`)

і, зокрема,

. (5``)

Загальне рішення рівняння Беселя

У випадку нецілого індексу  функції  і  є рішеннями рівняння (4). Ці рішення лінійно незалежні, тому що початкові члени рядів, що зображують ці функції, мають коефіцієнти, відмінні від нуля, і містять різні ступені . Таким чином, у випадку нецілого індексу загальне рішення рівняння Беселя є:

. (6)

Якщо  (ціле негативне число), то функція, обумовлена формулою (5) (з огляду на, що  дорівнює нулю для …), приймає вид:

 (5```)

або, після заміни індексу підсумовування  на ,

, (7)

звідки видно, що  задовольняє разом з  рівнянню Беселя

.

Але формула (6) у випадку цілого  вже не дає загального рішення рівняння (4).

Думаючи

 ( – не ціле) (8)

і доповнюючи це визначення для  (ціле число) формулою:

, (8`)

одержимо функцію , що задовольняє рівнянню Беселя (4) і у всіх випадках лінійно незалежну від  (у випадку , де  – ціле). Функція  називається беселевою функцією другого роду з індексом . Загальне рішення рівняння Беселя (4) можна записати у всіх випадках у вигляді:

. (9)