2. Формули приведення для Беселевих функцій
Маємо:
;
;
,
;
.
Отже,
. (10)
Таким чином, операція (що складається в диференціюванні з наступним множенням на
), застосована до
, підвищує в цьому вираженні індекс
на одиницю й міняє знак. Застосовуючи цю операцію
раз, де
– будь-яке натуральне число, одержуємо:
. (10`)
Маємо:
;
Отже,
. (11)
Таким чином, операція , застосована до
, знижує в цьому вираженні індекс
на одиницю. Застосовуючи цю операцію
раз, одержуємо:
. (11`)
З виведених формул можна одержати деякі наслідки. Використовуючи (10), одержимо:
;
;
.
Звідси, зокрема, треба, що . Використовуючи (11), одержимо:
;
;
.
По членне додавання й вирахування отриманих рівностей дає:
, (12)
. (13)
Формула (13) дозволяє виразити всі Беселеві функції із цілими індексами через ,
. Дійсно, з (13) знаходимо (думаючи
):
, (13`)
звідки послідовно одержуємо:
,
, …………………
3. Беселеві функції з напівцілим індексом
Беселеві функції, загалом кажучи, є новими трансцендентними функціями, що не виражаються через елементарні функції. Виключення становлять Беселеві функції з індексом , де
– ціле. Ці функції можуть бути виражені через елементарні функції.
Маємо:
,
,
отже,
.
Але , значить:
. (14)
Далі
,
,
отже,
.
Але , тому
. (15)
За допомогою (10') знаходимо:
,
а з огляду на (14)
,
отже, при цілому позитивному
. (14`)
За допомогою (11') знаходимо:
,
але в силу (15)
,
і, отже, при цілому позитивному
. (15`)
4. Інтегральне подання Беселевих функцій із цілим індексом
Виробляюча функція системи функцій
Розглянемо систему функцій
(з будь-якою загальною областю визначення), пронумерованих за допомогою всіх цілих чисел:
Складемо ряд
,
де – комплексна змінна. Припустимо, що при кожному
(приналежному області визначення розглянутих функцій) цей ряд має кільце збіжності, що містить усередині себе одиничну окружність
. Зокрема, це кільце може являти собою повну площину комплексної змінної без крапок 0 і?.
Функція
(16)
(де x лежить в області визначення функцій системи ,
– усередині кільця збіжності, що відповідає розглянутому значенню
) називається виробляючою функцією системи
.
Обернено, нехай задана функція , де
пробігає деяку множину,
перебуває усередині деякого кільця, що залежить від
, із центром 0 і утримуючого усередині себе одиничну окружність. Тоді, якщо
при кожному
аналітичне відносно
усередині відповідного кільця, тобто
виробляюча функція деякої системи
функцій. Справді, розклавши при кожному
функцію
в ряд Лорана по ступенях
:
,
знайдемо, що система коефіцієнтів цього ряду буде шуканою системою
.
Формули для коефіцієнтів ряду Лорана дозволяють виразити функції розглянутої системи через виробляючу функцію. Застосовуючи ці формули й перетворюючи потім інтеграл уздовж одиничної окружності
в простий інтеграл, одержимо:
. (17)
Виробляюча функція системи Беселевих функцій із цілими індексами
Покажемо, що для системи Беселевих функцій першого роду із цілими індексами (
…) виробляюча функція є:
.
Маємо:
,
,
звідки після по членного перемножування цих рівностей знайдемо:
(тому що в передостанній внутрішній сумі й
були зв'язані залежністю
, то ми могли покласти
, одержавши підсумовування по одному індексі
). В останній внутрішній сумі підсумовування виробляється по всіх цілих
, для яких
, отже, при
це буде
; при
це буде
. Таким чином, у всіх випадках внутрішня сума є
в силу формул (5`) і (5```). Отже,
, (18)
але це й доводить, що є виробляюча функція для системи
.
Виведемо деякі наслідки з формули (18). Думаючи в ній , одержимо:
,
звідки після поділу дійсної й мнимої частини (з огляду на, що )
(18`)
(18``)
Заміняючи в (18`) і (18``) на
, знайдемо:
, (18```)
. (18````)
Інтегральне подання Jn(x)
Тому що, по доведеному, при маємо
, те по формулі (17) одержуємо (використовуючи в перетвореннях формули Ейлера):
де прийнято в увагу, що є парна функція від
є непарна функція від
. Отже, доведено, що для будь-якого цілого числа
. (19)
Формула (19) дає подання Беселевих функцій із цілим індексом у вигляді певного інтеграла, що залежить від параметра . Ця формула називається інтегральним поданням Беселя для
, права частина формули називається інтегралом Беселя. Зокрема, при
знайдемо:
. (19`)
0 комментариев