Асимптотичне подання Беселевих функцій із цілим індексом для більших значень аргументу

6. Асимптотичне подання Беселевих функцій із цілим індексом для більших значень аргументу

Нехай  – позитивна функція й  – яка-небудь функція для досить більших значень . Запис

 при

означає, що найдуться такі числа  й M, що при  маємо .

Подібний запис уживається й в інших аналогічних випадках. Наприклад, якщо  – позитивна функція й  – яка-небудь функція, визначені для досить малих позитивних значень , то запис

 при

означає, що найдуться такі числа  й , що  на .

Допоміжна лема

Якщо  двічі безупинно диференцюєма на , то для функції

має місце асимптотичне подання

 при .

Доведемо цю лему. Заміняючи на , одержимо:

.(26)

Розглянемо інтеграл, що фігурує в правої частини формули (20). Заміняючи  на , знайдемо:

,

але, замінивши на , одержимо:

.

Якщо  позитивно, убуває й прагнути до нуля при , то  й , а отже, і  є  при , тому

 при ,

звідки

 при .

Отже, одержуємо асимптотичне подання:

 при . (27)

Розглянемо тепер інтеграл, що фігурує в другому складати^ся правої частини формули (20). Маємо:

,

.

Очевидно,  двічі безупинно на , але існують  і , тому  стає безупинно диференцуєма на . Інтегрування вроздріб дає:

,

де перший доданок правої частини  є  при , а інтеграл у другому мажорирується інтегралом, що складається при нижній межі

,

який сходиться, тому що

 при ;

отже, другий доданок є теж  при .

Отже, маємо:

 при . (28)

З (26), (27), (28) одержуємо шукане асимптотичне подання:

 при . (29)

Із цієї формули, переходячи до сполучених величин, знайдемо ще:

 при . (29')

Формули (29) і (29`) вірні й для функцій .

Висновок асимптотичної формули для Jn(x)

Заміняючи  на , одержимо:

(з огляду на, що  є парна функція від , а  є непарна функція від ). Підстановка  дає:

,

де  є, мабуть, поліном n-й ступеня (поліном Чебишева), тому що з формули Муавра видно, що  є поліном n-й ступеня відносно . Але

і, заміняючи в першому із цих інтегралів  на , одержимо:

Тому що  й  на  мають похідні всіх порядків, то до двох останніх інтегралів застосовні формули (29) і (29`), і ми одержуємо:

;

але ; , отже,

.

Отже, маємо шукане асимптотичне подання беселевої функції першого роду із цілим індексом для більших значень аргументу:

 при . (30)

Ця формула показує, що  з точністю складається до порядку, що,  є загасаючою гармонікою із хвилею постійної довжини й амплітудою, що убуває обернено пропорційно квадратному кореню з абсциси.

Зокрема,

 при ; (30`)

 при . (30'')

Графіки цих функцій зображені ні малюнках 1 і 2.

Розглянемо кілька прикладів рішення рівняння Беселя.

1. Знайти рішення рівняння Беселя при

,

задовольняючим початковим умовам при ,  і .

Рішення.

На підставі формули (5') знаходимо одне приватне рішення:

.

2. Знайти одне з рішень рівняння:

, .

Рішення.

Зробимо заміну

.

При  одержимо:

.

При  будемо шукати рішення у вигляді узагальненого статечного ряду:

.

Рівняння на  має вигляд ;

, , , , тому

,

, .

Рисунок 1 – Графік функції y=J0 (x)

Рисунок 2 – Графік функції y=J1 (x)

Висновок

Розглянуті усі рішення рівнянь, які можуть бути представлені у вигляді добутку трьох функцій. Складені графіки функцій.

Список літератури

1. Пискунов Н.С. Диференціальне й інтегральне вирахування, навчальний посібник для вузів. – К., 2003

2. Романовський П. І. «Ряди Фур'є. Теорія поля. Аналітичні й спеціальні функції. Перетворення Лапласа», навчальний посібник для вузів. – К., 2004

3. Самарський А.А., Гулін А.В. Чисельні методи. – К., 2003

4. Синіцин О.К., Навроцкий А.А. Алгоритми обчислювальної математики. – К., 2003