Интерполирование по схеме Эйткена

2. Интерполирование по схеме Эйткена

Итерационные методы интерполирования основаны на повторном применении некоторой простой интерполяционной схемы. Наиболее известным из итерационных методов является метод Эйткена, в основе которого лежит многократное применение линейной интерполяции.

В соответствии со схемой Эйткена линейная интерполяция по точкам M_i(x_i, y_i) и M_i+1(x_i+1, y_i+1) сводится к вычислению определителя второго порядка

При интерполировании по трем и более точкам последовательно вычисляются многочлены

В общем случае интерполяционный многочлен n-й степени, принимающий в точках x_iзначения y_i (i = ), записываются следующим образом:

(3)

Основным достоинством схемы Эйткена является возможность постепенного увеличения числа используемых значений x_i до тех пор, пока последовательные значения P_0,1,2,…,n(x) и P_1,2,…,n-1(x) не совпадут в пределах заданной точности. Иначе говоря, вычисления прекращаются при выполнении условия

|P_0,1,2,…,n(x) - P_1,2,…,n-1(x)| < e (k £ n).

При использовании ЭВМ вычисления по формуле (3) реализуются в виде рекурсивной подпрограммы - функции РХ(I, J) с формальными параметрами I, J, определяющими индексы крайних узлов интерполирования, которые используются для получения значения соответствующего многочлена P_{i,i+1,…, j} (x).

Для хранения вычисленных значений P(x) используется двумерный массив M размером N*N элементов, где N - максимальное число узлов интерполирования. Каждому возможному значению P(x) соответствует один из элементов M(I, J), расположенный выше главной диагонали (I < J) и определяемый сочетанием индексов крайних узлов интерполирования.

Например, значению многочлена P_1,2(x) соответствует элемент M(1,2), значению P_2,3,4(x) - элемент M(2, 4) и т.д. Симметричные элементы M(J, I), расположенные ниже главной диагонали (J > I), показывают, вычислены ли соответствующие значения P(x) на данный момент, и определяются как

Схема рекурсивной процедуры PX приведена на рис. 1, где Х - массив значений узлов интерполирования, Y - массив значений функции в узлах интерполирования, Z - значение аргумента. Параметры X, Y, Z, M должны быть описаны как общие для главной программы и подпрограммы PX.

3. Интерполяционные формулы Ньютона для равноотстоящих узлов

Узлы интерполирования x₀, x₁, ..., x_n называются равноотстоящими, если , где h - шаг интерполирования. При этом для некоторой функции f(x) таблично задаются значения y_i = f(x_i), где x_i = x₀ + ih.

Существуют две формулы Ньютона для случая равноотстоящих узлов интерполирования, которые называются соответственно первой и второй интерполяционными формулами Ньютона и имеют вид:

;

,

В этих формулах Dⁱy_j - конечные разности, где i - порядок разности, j - ее порядковый номер, а параметры t и q определяются следующим образом:

 

t = (x - x₀) / h; q = (x - x_n) / h.

Конечные разности первого порядка вычисляются как Dy_j = y_j+1 – y_j, где

j = , для более высоких порядков используется известная формула

(i = 2, 3, ...; j = ).

Получаемые конечные разности удобно представлять в табличной форме записи, например, в виде табл. 1, которая называется горизонтальной таблицей конечных разностей.

Таблица 1

x	y	Dy	D2y	D3y	D4y
x0	Y0	Dy0	D2y0	D3y0	D4y0
x1	Y1	Dy1	D2y1	D3y1	D4y1
x2	Y2	Dy2	D2y2	D3y2
x3	Y3	Dy3	D2y3	-
x4	Y4	Dy4	-	-
x5	Y5	-	-	-

Пepвая формула Ньютона применяется для интерполирования вперед и экстраполирования назад, т.е. в начале таблицы разностей, где строки заполнены и имеется достаточное число конечных разностей. При использовании этой формулы для интерполирования значение аргумента x должно лежать в интервале [x₀, x₁]. При этом за x₀ может приниматься любой узел интерполяции x_k с индексом , где m - максимальный порядок конечных разностей.

Вторая формула Ньютона применяется для интерполирования назад и экстраполирования вперед, т.е. в конце таблицы конечных разностей. При этом значение аргумента x должно находиться в интервале [x_n-1, x_n], причем за x_n может приниматься любой узел интерполирования .

Одно из важнейших свойств конечных разностей заключается в следующем. Если конечные разности i–го порядка (i < n) постоянны, то функция представляет собой полином i–й степени. Следовательно, формула Ньютона должна быть не выше i-й степени. При использовании ЭВМ вычисление конечных разностей завершается при выполнении условий

где L - число значащих цифр после запятой в представлении значений функции.

Необходимо отметить, что формулы Ньютона являются видоизменениями формулы Лагранжа. Однако в формуле Лагранжа нельзя пренебречь ни одним из слагаемых, так как все они равноправны и представляют многочлены n-й степени. В формулы Ньютона в качестве слагаемых входят многочлены повышающихся степеней, коэффициентами при которых служат конечные разности, разделенные на факториалы. Конечные разности, как правило, быстро уменьшаются, что позволяет в формулах Ньютона пренебречь слагаемыми, коэффициенты при которых становятся малыми. Это обеспечивает вычисление промежуточных значений функции достаточно точно с помощью простых интерполяционных формул.