Навигация
5. Интерполяция сплайнами
Пусть задана таблица значений функции f(xi) = yi (
), в которой они расположены по возрастанию значений аргумента: x0 < x1 < … < xn. Чтобы построить кубический сплайн, требуется определить коэффициенты ai0, ai1, ai2, ai3, которые задают интерполяционный кубический многочлен
на каждом интервале интерполирования [xi-1, xi], 
.
Таким образом, необходимо определить 4n коэффициентов aij (
, 
), для чего требуется 4n уравнений. Необходимые уравнения определяются следующими условиями.
1. Условия непрерывности функции:
2. Условия непрерывности 1-х и 2-х производных функции:
3. Граничные условия:
Часто используются граничные условия вида
Получаемый при этом сплайн называется естественным кубическим сплайном.
Задача определения кубического сплайна существенно упрощается при использовании многочлена Эрмита. Кубический многочлен Эрмита на интервале [xi-1, xi] определяется с помощью значений функции yi-1, yi и ее производных y¢i-1, y¢i. Так как значения производных в общем случае могут быть неизвестны, обозначим их как y¢i-1 = Si-1; y¢i = Si. При построении сплайна переменные Si называются наклонами сплайна в соответствующих точках xi.
Запишем многочлен Эрмита для интервала [xi-1, xi], где hi = xi - xi-1:
При таком выборе кубического многочлена автоматически выполняются условия непрерывности функции и ее первых производных:
Чтобы определить сплайн, нужно задать условия непрерывности второй производной:
Для записи этих условий в развернутом виде определим кубический многочлен Эрмита на интервале [xi, xi+1], где hi+1 = xi+1 - xi:
Определим вторые производные многочленов Qi(x) и Qi+1(x) в точке x = xi:
(4)
(5)
Отсюда условие непрерывности вторых производных имеет вид:
(6)
Это условие порождает систему линейных уравнений относительно наклонов сплайна Si, которая содержит n - 1 уравнение и n + 1 переменную. Чтобы определить два недостающих уравнения используются граничные условия. Например, для естественного кубического сплайна:
Указанные граничные условия могут быть получены из уравнения (5) для i = 0 и из уравнения (4) для i = n соответственно. В развернутом виде:
(7)
Решение системы линейных уравнений, образованной условиями (6) и (7), позволяет вычислить наклоны сплайна Si (i = 
) и определить кубический сплайн путем записи многочлена Эрмита для каждого интервала [xi-1, xi], i = 
.
Заключение
В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. На практике часто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычисления многих функций оказывается эффективно приблизить их полиномами или дробно-рациональными функциями. Теория интерполирования используется при построении и исследовании квадратурных формул для численного интегрирования, для получения методов решения дифференциальных и интегральных уравнений.
Список литературы
1. В.В. Иванов. Методы вычислений на ЭВМ. Справочное пособие. Изд-во "Наукова думка". Киев. 1986.
2. Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. Численные методы. Изд-во "Лаборатория базовых знаний". 2003.
3. И.С. Березин, Н.П. Жидков. Методы вычислений. Изд. ФизМатЛит. Москва. 1962.
4. К. Де Бор. Практическое руководство по сплайнам. Изд-во "Радио и связь". Москва. 1985.
5. Дж. Форсайт, М.Мальком, К. Моулер. Машинные методы математических вычислений. Изд-во "Мир". Москва. 1980.
Похожие работы
... при построении итерационных методов решения уравнения =0. Например взяв за корень линейного интерполяционного алгебраического многочлена, построенного по значениям и в узле или по значениям и в узлах и , приходят соответственно к методу Ньютона и метода секущих , где - разделенная разность функций для узлов и . Другой подход к построению численных методов решения уравнения ...
... она одновременно проходила через все точки. Поскольку приближенное уравнение изгиба пружинистого бруса имеет вид , то можно допустить, что ее форма между узлами есть алгебраический полином 3-й степени. Вероятно, интерполирующую функцию между каждыми двумя узлами можно взять, например, в таком виде: (*) . Неизвестные коэффициенты ai, bi, ci, di найдем с условий в узлах интерполяции. ...
... видно, с ростом числа измерений различие между результатами, вычислениями по распределению Стьюдента и по нормальному распределению уменьшается. Контрольные вопросы 1. Цель математической обработки результатов эксперимента; 2. Виды измерений; 3. Типы ошибок измерения; 4. Свойства случайных ошибок; 5. Почему среднеарифметическое значение случайной величины при нормальном законе ее ...
... Как видно, с ростом числа измерений различие между результатами, вычислениями по распределению Стьюдента и по нормальному распределению уменьшается. Контрольные вопросы Цель математической обработки результатов эксперимента; Виды измерений; Типы ошибок измерения; Свойства случайных ошибок; Почему среднеарифметическое значение случайной величины при нормальном законе ее распределения является ...
0 комментариев