Проверить выполнение предпосылок МНК

3. Проверить выполнение предпосылок МНК

Проверим независимость остатков с помощью критерия Дарбина-Уотсона.

Вычислим коэффициент Дарбина-Уотсона по формуле:

.

Данные для расчета возьмем из таблицы 2.

dw = 0,803

Сравним полученное значение коэффициента Дарбина-Уотсона с табличными значениями границ  и  для уровня значимости 0,05 при k=1 и n=10. =0,88, =1,32, dw < d , значит, остатки содержат автокорреляцию. Наличие автокорреляции нарушает одну из предпосылок нормальной линейной модели регрессии.

Проверим наличие гетероскедастичности. Т.к. у нас малый объем выборки (n=10) используем метод Голдфельда-Квандта.

- упорядочим значения n наблюдений по мере возрастания переменной x и разделим на две группы с малыми и большими значениями фактора x соответственно.

- рассчитаем остаточную сумму квадратов для каждой группы.

Вычисления представим в таблицах 3 и 4.

Таблица 3. Промежуточные вычисления для 1-го уравнения регрессии.

t	xi	yi	yi * xi	xi*xi
1	27	46	1242	729	47	-1	1
2	27	48	1296	729	47	1	1
3	28	47	1316	784	49,5	-2,5	6,25
4	28	52	1456	784	49,5	2,5	6,25
средн. знач.	27,5	48,25
	1326,875
	756,25
	5310,00
	3026,00
n	4
	2,5
	- 20,5
	14,5

Таблица 4. Промежуточные вычисления для 2-го уравнения регрессии.

t	xi	yi	yi * xi	xi*xi
1	37	63	2331	1369	63,789	-0,789	0,623
2	38	69	2622	1444	64,582	4,418	19,519
3	39	62	2418	1521	65,375	-3,375	11,391
4	41	67	2747	1681	66,961	0,039	0,002
5	44	67	2948	1936	69,340	-2,340	5,476
6	46	73	3358	2116	70,926	2,074	4,301
средн. знач.	40,833	66,833
	2729,028
	1667,361
	16424
	10067
n	6
	0,793
	34,448
	41,310

 = =2,849

где  - остаточная сумма квадратов 1-ой регрессии,  - остаточная сумма квадратов 2-ой регрессии.

Полученное значение сравним с табличным значением F распределения для уровня значимости , со степенями свободы  и  ( - число наблюдений в первой группе, m – число оцениваемых параметров в уравнении регрессии).

, , m=1.

Если  > , то имеет место гетероскедастичность.

= 5,41

< ,

значит, гетероскедастичность отсутствует и предпосылка о том, что дисперсия остаточных величин постоянна для всех наблюдений выполняется.

4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента .

Расчетные значения t-критерия можно вычислить по формулам:

,

,

,

=35,5

Промежуточные расчеты представим в таблице:

Таблица 5. Промежуточные вычисления для расчета t- критерия

xi
38	6,25
28	56,25
27	72,25
37	2,25
46	110,25
27	72,25
41	30,25
39	12,25
28	56,25
44	72,25

=490,50

 для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы n-2=8

Так как  и  можно сделать вывод, что оба коэффициента регрессии значимые.

5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Коэффициент детерминации определяется по формуле:

Из расчетов нам известно, что

; .

Рассчитаем :

Таблица 6. Промежуточные вычисления для расчета коэффициента детерминации.

69	9,6	92,16
52	-7,4	54,76
46	-13,4	179,56
63	3,6	12,96
73	13,6	184,96
48	-11,4	129,96
67	7,6	57,76
62	2,6	6,76
47	-12,4	153,76
67	7,6	57,76

=930,4

=0,917.

Т.к. значение коэффициента детерминации близко к единице, качество модели считается высоким.

Теперь проверим значимость уравнения регрессии. Рассчитаем значение F-критерия Фишера  по формуле:

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. >.

Средняя относительная ошибка аппроксимации находится по формуле:

Таблица 7. Промежуточные вычисления для расчета средней относительной ошибки аппроксимации.

yi
69	6,305	0,091377
52	2,495	0,047981
46	-2,186	0,047522
63	1,624	0,025778
73	-0,247	0,003384
48	-0,186	0,003875
67	0,348	0,005194
62	-2,014	0,032484
47	-2,505	0,053298
67	-3,609	0,053866

 ,

значит модель имеет хорошее качество.

Рассчитаем коэффициент эластичности по формуле:

6. осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости , если прогнозное значение фактора X составит 80% от его максимального значения.

Рассчитаем стандартную ошибку прогноза

,

где

=930,4 ;

, для уровня значимости 0,1 и числа степеней свободы n-2=8

Доверительный интервал прогноза:

Таким образом, =61,112 , будет находиться между верхней границей, равной 82,176 и нижней границей, равной 40,048.