Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза

7. Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза.

Воспользуемся данными из таблицы 2 для построения графиков с помощью MS Excel.

Рис. 2. Фактические и модельные значения Y точки прогноза.

8. Составить уравнения нелинейной регрессии: гиперболической, степенной, показательной. Привести графики построенных уравнений регрессии.

Построение степенной модели.

Уравнение степенной модели имеет вид:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

Обозначим .

Тогда уравнение примет вид  – линейное уравнение регрессии. Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1:

Таблица 8. Расчет параметров уравнения степенной модели регрессии.

t	xi	X		Y	YX	X*X
1	38	1,5798	69	1,839	2,905	2,496	62,347	6,653	9,642	44,26
2	28	1,447	52	1,716	2,483	2,094	50,478	1,522	2,926	2,315
3	27	1,431	46	1,663	2,379	2,048	49,225	-3,225	7,010	10,399
4	37	1,568	63	1,799	2,821	2,459	61,208	1,792	2,845	3,212
5	46	1,663	73	1,863	3,098	2,765	71,153	1,847	2,530	3,411
6	27	1,431	48	1,681	2,406	2,049	49,225	-1,225	2,552	1,5
7	41	1,613	67	1,826	2,945	2,601	65,771	1,289	1,924	1,66
8	39	1,591	62	1,793	2,853	2,531	63,477	-1,477	2,382	2,182
9	28	1,447	47	1,672	2,419	2,094	50,478	-3,478	7,4	12,099
10	44	1,644	67	1,826	3,001	2,701	68,999	-1,999	2,984	3,997

Уравнение регрессии будет иметь вид:

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

Вычислим коэффициент детерминации :

=930,4;

(1)

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации А:

%

(2)

Коэффициент эластичности рассчитывается по формуле:

 (3)

Рис. 3. График степенного уравнения регрессии.

Построение показательной функции.

Уравнение показательной кривой:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:

Обозначим

Получим линейное уравнение регрессии:

Рассчитаем его параметры, используя данные таблиц 1 и 8.

Промежуточные расчеты представим в таблице 9.

Таблица 9. Промежуточные расчеты для показательной функции.

t	xi	Y		y
1	38	1,839	69,882	69	62,632	6,368	10,167	40,552
2	28	1,716	48,048	52	49,893	2,107	4,223	4,44
3	27	1,663	44,901	46	48,771	-2,771	5,682	7,68
4	37	1,799	66,563	63	61,224	1,776	2,901	3,155
5	46	1,863	85,698	73	75,128	-2,128	2,832	4,528
6	27	1,681	45,387	48	48,771	-0,771	1,581	0,595
7	41	1,826	74,866	67	67,054	-0,054	0,08	0,003
8	39	1,793	69,927	62	64,072	-2,072	3,235	4,295
9	28	1,672	46,816	47	49,893	-2,893	5,798	8,369
10	44	1,826	80,344	67	71,788	-4,788	6,669	22,921

=63,2432

Уравнение будет иметь вид:

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле (1).

=930,4;

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации А по формуле (2):

А=0,1*43,170=4,317%

Коэффициент эластичности рассчитаем по формуле (3):

%

Построим график функции с помощью MS Excel.

Рис. 4. График показательного уравнения регрессии.

Построение гиперболической функции.

Уравнение гиперболической функции

Произведем линеаризацию модели путем замены Х=1/х.

В результате получим линейное уравнение:

Рассчитаем параметры уравнения, промежуточные вычисления представим в таблице 10.

Таблица 10. Расчет параметров для гиперболической модели.

t	xi	yi	X=1/xi	y*X
1	38	69	0,02632	1,81579	0,00069	63,5648	5,4352	7,877	29,5409
2	28	52	0,03571	1,85714	0,00128	50,578	1,422	2,7346	2,0221
3	27	46	0,03704	1,7037	0,00137	48,7502	-2,7502	5,9787	7,5637
4	37	63	0,02703	1,7027	0,00073	62,5821	0,4179	0,6634	0,1747
5	46	73	0,02174	1,58696	0,00047	69,8889	3,1111	4,2618	9,6791
6	27	48	0,03704	1,77778	0,00137	48,7502	-0,7502	1,563	0,5628
7	41	67	0,02439	1,63415	0,00059	66,2256	0,7744	1,1559	0,5998
8	39	62	0,02564	1,58974	0,00066	64,4972	-2,4972	4,0278	6,2362
9	28	47	0,03571	1,67857	0,00128	50,578	-3,578	7,6128	12,8021
10	44	67	0,02273	1,52273	0,00052	68,5235	-1,5235	2,2738	2,3209

Уравнение гиперболической модели:

Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле (1).

=930,4;

Вычислим среднюю ошибку аппроксимации А по формуле (2):

А=0,1*38,1488=3,81488%

Коэффициент эластичности рассчитаем по формуле (3):

%

Построим график функции с помощью MS Excel.

Рис. 5 График гиперболического уравнения регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать выводы.

Коэффициенты были рассчитаны в задании 8. Для сравнения моделей составим сводную таблицу 11:

Таблица11. Сводная таблица характеристик моделей.

параметры модель	Коэффициент детерминации, R	Коэффициент эластичности,(%)	Средняя относительная ошибка аппроксимации, А (%)
Линейная	0,917	0,788	3,648
Степенная	0,909	0,692	4,22
Показательная	0,896	0,817	4,317
Гиперболическая	0,923	0,638	3,815

Для всех моделей средняя относительная ошибка аппроксимации не превышает 7%, значит, качество всех моделей хорошее. Коэффициент детерминации более приближен к 1 у гиперболической модели, таким образом, эту модель можно взять в качестве лучшей для построения прогноза. Для гиперболической модели степень связи между факторным и результативным признаком самая низкая, т.к. имеет наименьшее значение, а для показательной модели самая высокая, т.к. коэффициент эластичности наибольший.