Функции на множестве. Свойства непрерывных функций на замкнутом ограниченном множестве

3. Функции на множестве. Свойства непрерывных функций на замкнутом ограниченном множестве

Пусть функция  задана на множестве . Говорят, что она не­прерывна в точке  на множестве , если  для любой последовательности точек , сходящейся к .

Заметим, что согласно данному определению любая функция, опре­деленная на , непрерывна в изолированных точках .

Точка  называется изолированной, если существует шарик с центром в , не содержащий в себе других точек , кроме . Поэтому если задано, что  и  , то это может быть, лишь если для некоторого  будет  для всех , но тогда

 . (1)

Если функция , определенная на , непрерывна в любой точ­ке , то говорят, что  непрерывна на .

Докажем две теоремы, выражающие замечательные свойства функ­ций, непрерывных на ограниченном замкнутом множестве; они обобща­ют соответствующие свойства непрерывных функций от одной перемен­ной, заданных на отрезке.

Теорема 1. Функция , непрерывная на замкнутом ограни­ченном множестве , ограничена на нем.

Доказательство. Допустим, что она не ограничена на ; тогда для любого натурального к найдется такая точка , что

 (2)

Полученная последовательность  ограничена. Из нее можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторой точке  Вследствие замкнутости  точка  принадлежит , а в силу непрерывности  в  на  , и мы получили противоречие с неравенствами (2).

Теорема 2. Функция , непрерывная на замкнутом огра­ниченном множестве , достигает на нем своего максимума и минимума.

Доказательство. Из предыдущей теоремы известно, что  ограничена на . Поэтому она имеет на  конечные точные нижнюю и верхнюю грани:

Из свойства верхней грани следует, что для любого натурального  най­дется точка  такая, что

 (3)

Полученная последовательность  ограничена, и потому из нее мож­но выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторой точке . В силу замкнутости  точка  принадлежит , и в си­лу непрерывности  на  . С другой стороны, из (3) следует, что этот предел должен равняться числу . Но тогда

.

Аналогично доказывается существование точки , в которой  достигает минимума на :

.

Рассмотрим снова пока произвольное множество  и опреде­ленную на нем не обязательно непрерывную функцию , но ограничен­ную на . Зададим число  и введем величину

 , (4)

называемую модулем непрерывности  на множестве . В правой части (4) взята точная верхняя грань абсолютных величин разностей значений , соответствующих всевозможным парам точек , отстоящих друг от друга на расстоянии, меньшем .

Модуль непрерывности есть функция от , очевидно, неотрицатель­ная. Она не убывает, потому что если , то

Поэтому существует предел

 (5)

Введем определение.

1) Функция  называется равномерно непрерывной на множестве, если ее модуль непрерывности  на стремится к нулю при , т.е.

 (6)

Приведем другое эквивалентное определение.

2) Функция  называется равномерно непрерывной на , если для любого  найдется такое , что для любых  с  имеет место

Определение 1) влечет за собой 2).

Потому что из 1) следует, что для любого найдется такое , что

,  и

Обратно, если имеет место 2), то, задав  и подобрав  так, как это сказано в 2), получим

и так как  монотонно не убывает, то отсюда следует (6), т. е. 1).

Докажем теперь важную теорему.

Теорема 3. Функция , непрерывная на ограниченном замк­нутом множестве , равномерно непрерывна на нем.

Доказательство. Допустим, что теорема неверна. Тогда существует  такое, что для любого натурального  найдется пара точек

, , (7)

для которых

 (8)

В силу ограниченности последовательности  и замкнутости  су­ществует подпоследовательность , сходящаяся к некоторой точке . В силу (7) тогда и , и потому вследствие непрерывности  в

что противоречит (8).

Рассмотрим числовое множество . Точка  называется точкой сгущения этого множества, если в любой окрестности  этой точки содержатся значения  из , отличные от . Сама точка сгущения при этом может принадлежать  или нет. Например, если  или , то  в обоих случаях является точкой сгущения для , но в первом случае она сама содержится в , а во втором – нет.

В предположении, что  есть точка сгущения для , можно извлечь из  - и притом бесчисленным множеством способов - такую последовательность

 (9)

значений , отличных от , которая имела бы своим пределом . Действительно, задавшись последовательностью положительных чисел , сходящейся к нулю, в каждой окрестности  точка  (при ) найдем по точке  из ,отличной от ; так как , то .

Пусть теперь в области , для которой  является точкой сгущения, задана некоторая функция . Представляет интерес поведение этой функции при приближении  к . Говорят, что функция  имеет предел , конечный или нет, при стремлении  к  (в точке ), если какую бы последовательность (9) с пределом , извлеченную из , ни пробегала независимая переменная , соответствующая последовательность значений функции

всегда имеет предел . Обозначается это так:

или  при .

Предположим теперь, что множество  содержит сколь угодно большие положительные значения ; тогда говорят, что  является точкой сгущения этого множества. Если под окрестностью точки  разуметь промежуток , то можно высказанное предположение представить и такой форме: в каждой окрестности точки  должны содержаться числа из множества .

Если это предположение выполнено, то можно из  выделить последовательность (9), имеющую пределом . Действительно, взяв любую положительную переменную , стремящуюся к , для каждого  (при ) найдем в  значение ; очевидно, .

В предположении, что  является точкой сгущения для , рассмотрим определенную в этой области функцию . Для нее можно установить понятие предела при : .

Используемая литература

1.  Б.З. Вулих «Введение в функциональный анализ», Москва, 1967 г.

2.  Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков «Лекции по математическому анализу», Москва, 1999 г.

3.  А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин «Элементы теории функций и функционального анализа», Москва, 1960 г.