Треугольник Рело

4.  Треугольник Рело

 

4.1 Исторические сведения

 

Рассмотрим подробнее наиболее известную фигуру - треугольник Рело, названный по имени придумавшего его механика Франца Рело – немецкого учёного-инженера, жившего с1829 по 1905 г.г.. В 1852 он окончил политехникум в Карлсруэ, с 1856 профессор Политехнического института в Цюрихе, в 1864—96 профессор Промышленного института (позже — Высшая техническая школа) в Берлине. В 1875 впервые четко сформулировал и изложил основные вопросы структуры и кинематики механизмов, которые ранее содержались в неявной форме в работах П. Л. Чебышева и др.. Рело дал определение кинематической пары, кинематической цепи и механизма как кинематической цепи принуждённого движения; предложил способ преобразования механизмов путём изменения стойки и путём изменения конструкций кинематических пар. Связал теорию механизмов и машин с проблемами конструирования, например, впервые поставил и пытался решить проблему эстетичности технических объектов. Имея в виду это направление его работ, современники Рело называли его поэтом в технике. Творчество Рело оказало значительное влияние на последующие исследования по теории механизмов.

Эта фигура обладает частью важнейших свойств круга. Построить это треугольник просто. Начертим равносторонний треугольник. Заменим его стороны дугами окружностей, центрам которых являются вершины, а радиусами – стороны треугольника (на любом правильном нечётном n-угольнике можно построить кривую постоянной ширины по той же схеме, что и треугольник Рело). На самом деле эта фигура не является треугольником. Треугольник Рело имеет постоянную ширину, равную стороне исходного треугольника. Его также можно использовать в качестве катка при перемещении поверхности, но его гораздо сложнее изготовить, чем круг.

Построим пару параллельных прямых, касающихся треугольника Рело. Проведём ещё пару касательных, перпендикулярных первой паре. Фигура окажется "запертой" в квадрате и будет касаться каждой из его сторон. При вращении фигуры в квадрате она будет постоянно прилегать ко всем сторонам квадрата.

  4.2 Очертание четырёхугольника

Наиболее известное свойство треугольника Рело – очертание четырёхугольника сложенным вращением этого треугольник (рис.8).

Если вращать треугольник А₁В₁С₁ вокруг центра О₁ описанной вокруг него окружности с радиусом О₁А₁, а центр треугольника О₁ вращать в противоположную сторону в три раза быстрее по окружности с центром N, то треугольник очертит фигуру, которая незначительно отличается от четырёхугольника. А именно, за один оборот центра О₁ направо по окружности с радиусом О₁N два угла четырёхугольника будут оформлены вершиной А треугольника Рело и по одному – вершинами В и С, т.е. через каждую четверть оборота вокруг центра N треугольника Рело будет находиться в положении А₂В₂С₂, А₃В₃С₃ иА₄В₄С₄.

Выполненные на рисунке построения показывают небольшую кривизну сторон четырёхугольника, о которой также указывают инженеры. По их данным, наибольшее отклонение стороны от идеальной прямой имеет место в середине стороны. Треугольник Рело при вращении контактирует с точкой D серединой своей стороны.

Обозначим через R- радиус, описанного около треугольника Рело круга, r=О₁N. Тогда

А₁В₁=А₂В₂=А₃В₃=А₄В₄=R,

ND=rR+R

Из треугольника А₁NА₄ получаем

А₁N=rR, NЕ=

Из равенства DE=ND=NE следует, что

DE= r – R + R,

DE=R(1)+r(1)0,025R+0,293r.

Вычислив кривизну, получаем:

DE ~ 0.025R + 0.293r

Таким образом, отклонение DE стороны квадрата от сделанной прямой зависит, в первую очередь, от радиуса r и не может быть устранено, потому что R и r не могут равняться нулю.

4.3  Движение вершины и центра треугольника Рело

Попробуем построить траектории движения двух характерных точек треугольника Рело при качении его по плоской горизонтальной поверхности. Такими точками будут одна из вершин треугольника и его геометрический центр. Моделирование одного полного оборота треугольника Рело показано на рисунке.

Рис.14

На фигурах 2, 6, 10 треугольник катится по поверхности окружности, на фигурах 4, 8, 12 треугольник переваливается через вершину, на остальных фигурах происходит смена характера движения треугольника с качения на переваливание и наоборот. Рассмотрим движение вершины треугольника. На фигурах 1, 2, 3 помеченная вершина движется линейно, по прямой (Рис. 10). Фактически помеченная вершина является центром вращения окружности, элементом которой является поверхность стороны треугольника Рело. На фигуре 3 помеченная вершина меняет траекторию движения с прямолинейной на траекторию движения по окружности с радиусом, равным длине стороны, по которой он движется на фигурах 3, 4, 5.

На фигуре 5 происходит смена траектории движения вершины. На фигурах 5, 6, 7 вершина движется по трохоиде точки, находящейся на поверхности окружности с радиусом, равным длине стороны треугольника. На фигурах 7, 8, 9 меченная вершина является точкой перевала треугольника, она жестко лежит на поверхности. Фигуры 9, 10, 11 – опять трохоида и 11, 12, 1 – движение по окружности. По аналогии эти фигуры описаны выше. Меченая вершина возвращается в исходную точку. Треугольник Рело совершил полный оборот.

 

Рис.15 Движение вершины треугольника.

Рис.16 Движение центра треугольника.

Рис.17

Очень важной является траектория движения геометрического центра треугольника. Если обозначить длину стороны треугольника через R, то расстояние от вершины до геометрического центра будет равно R/. На фигурах 3 – 4 – 5, 7 – 8 - 9, 11 – 12 – 1 (Рис.16) центр движется по дугам с радиусом именно R/. На фигурах же 1 – 2 – 3, 5 – 6 – 7, 9 – 10 – 11 центр движется по трохоиде, причем расстояние от центра катящейся окружности (не путать с геометрическим центром треугольника, Рис. 15) до траектории искомой точки опять же равно R/.